Какова скорость шарика у основания наклонной плоскости, если его начальная скорость равна нулю? Вершина прямого угла

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы сохранения энергии и законы движения заряженных частиц в электрическом поле.

Для начала, построим подробную иллюстрацию задачи:

Изобразим наклонную плоскость, на которой скользит шарик. Вершина угла плоскости составляет угол 30° с горизонтом. У основания плоскости находится неподвижный точечный заряд массой 2,0 мккл (это является опечаткой, так как масса измеряется в килограммах, а заряд в Кулонах). Шарик имеет массу 41 мг (миллиграмм) и заряд 1,0 мккл (здесь также есть опечатка, заряд измеряется в Кулонах).

Теперь перейдем к решению задачи.

Шарик скользит без трения с высоты 3,0 м по наклонной плоскости. Изначально у шарика нет начальной скорости, поэтому его начальная кинетическая энергия равна нулю. На основании плоскости находится неподвижный заряд, поэтому между ними возникает потенциальная энергия, связанная с их электрическим взаимодействием.

Используем закон сохранения энергии:

$$E_{\text{начальная}}=E_{\text{конечная}}$$

На данный момент у нас будет две формы энергии: потенциальная энергия $E_{\text{пот}}$ и кинетическая энергия $E_{\text{кин}}$.

Изначально, когда шарик находится на высоте 3,0 м, его потенциальная энергия равна

$$E_{\text{пот начальная}}=m\cdot g\cdot h$$

где $m$ - масса шарика, $g$ - ускорение свободного падения, $h$ - высота.

При достижении шариком основания наклонной плоскости его потенциальная энергия станет равной нулю, так как высота равна нулю. А кинетическая энергия шарика станет равной

$$E_{\text{кин конечная}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{\text{основания}}^2$$

где $v_{\text{основания}}$ - скорость шарика у основания плоскости.

Теперь рассмотрим потенциальную энергию, связанную с электрическим взаимодействием между шариком и точечным зарядом. Потенциальная энергия шарика в этом случае равна

$$E_{\text{пот элек}}=\frac{k\cdot |q_1\cdot q_2|}{r}$$

где $k$ - постоянная электростатической силы, $q_1$ и $q_2$ - величины зарядов шарика и заряда на плоскости соответственно, $r$ - расстояние между ними.

Таким образом, окончательное уравнение сохранения энергии имеет вид:

$$m\cdot g\cdot h+\frac{k\cdot |q_1\cdot q_2|}{r}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_{\text{основания}}^2$$

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти скорость шарика у основания плоскости $v_{\text{основания}}$.

Нам также даны значения переменных:

$m=41\text{мг}=0.041\text{г}=0.000041\text{кг}$ - масса шарика,

$g=9.8{\text{м/с}}^2$ - ускорение свободного падения,

$h=3.0\text{м}$ - высота,

$q_1=1.0\text{мкКл}=0.000001\text{Кл}$ - заряд шарика,

$q_2=2.0\text{мкКл}=0.000002\text{Кл}$ - заряд на плоскости,

$k=9\times {10}^9\text{Н}\cdot {\text{м}}^2/{\text{Кл}}^2$ - постоянная электростатической силы.

Подставив эти значения в уравнение, мы можем найти значение $v_{\text{основания}}$. Однако для удобства рассмотрим все части уравнения по отдельности.

m \cdot g \cdot h = 0.000041 \cdot 9.8 \cdot 3.0 \approx 0.0011988

\frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r} = \frac{9 \times 10^9 \cdot |0.000001 \cdot 0.000002|}{r} \approx 0.018

Итак,

0.0011988 + 0.018 = \frac{{0.000041 \cdot v_{\text{основания}}^2}}{2}

0.0191988 = \frac{{0.000041 \cdot v_{\text{основания}}^2}}{2}

Умножим обе части уравнения на 2:

0.0383976 = 0.000041 \cdot v_{\text{основания}}^2

Поделим обе части уравнения на 0.000041:

v_{\text{основания}}^2 = \frac{{0.0383976}}{{0.000041}}

v_{\text{основания}}^2 \approx 936.29

Извлекая квадратный корень, мы найдем значение скорости $v_{\text{основания}}$:

v_{\text{основания}} \approx \sqrt{936.29} \approx 30.6 \, \text{м/с}

Таким образом, скорость шарика у основания плоскости составляет примерно 30.6 м/с.