Какова скорость шарика у основания наклонной плоскости, если его начальная скорость равна нулю? Вершина прямого угла

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы сохранения энергии и законы движения заряженных частиц в электрическом поле.

Для начала, построим подробную иллюстрацию задачи:

Изобразим наклонную плоскость, на которой скользит шарик. Вершина угла плоскости составляет угол 30° с горизонтом. У основания плоскости находится неподвижный точечный заряд массой 2,0 мккл (это является опечаткой, так как масса измеряется в килограммах, а заряд в Кулонах). Шарик имеет массу 41 мг (миллиграмм) и заряд 1,0 мккл (здесь также есть опечатка, заряд измеряется в Кулонах).

Теперь перейдем к решению задачи.

Шарик скользит без трения с высоты 3,0 м по наклонной плоскости. Изначально у шарика нет начальной скорости, поэтому его начальная кинетическая энергия равна нулю. На основании плоскости находится неподвижный заряд, поэтому между ними возникает потенциальная энергия, связанная с их электрическим взаимодействием.

Используем закон сохранения энергии:

\[E_{\text{начальная}} = E_{\text{конечная}}\]

На данный момент у нас будет две формы энергии: потенциальная энергия \(E_{\text{пот}}\) и кинетическая энергия \(E_{\text{кин}}\).

Изначально, когда шарик находится на высоте 3,0 м, его потенциальная энергия равна

\[E_{\text{пот начальная}} = m \cdot g \cdot h\]

где \(m\) - масса шарика, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота.

При достижении шариком основания наклонной плоскости его потенциальная энергия станет равной нулю, так как высота равна нулю. А кинетическая энергия шарика станет равной

\[E_{\text{кин конечная}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\text{основания}}^2\]

где \(v_{\text{основания}}\) - скорость шарика у основания плоскости.

Теперь рассмотрим потенциальную энергию, связанную с электрическим взаимодействием между шариком и точечным зарядом. Потенциальная энергия шарика в этом случае равна

\[E_{\text{пот элек}} = \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r}\]

где \(k\) - постоянная электростатической силы, \(q_1\) и \(q_2\) - величины зарядов шарика и заряда на плоскости соответственно, \(r\) - расстояние между ними.

Таким образом, окончательное уравнение сохранения энергии имеет вид:

\[m \cdot g \cdot h + \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\text{основания}}^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти скорость шарика у основания плоскости \(v_{\text{основания}}\).

Нам также даны значения переменных:

\(m = 41 \, \text{мг} = 0.041 \, \text{г} = 0.000041 \, \text{кг}\) - масса шарика,

\(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\) - ускорение свободного падения,

\(h = 3.0 \, \text{м}\) - высота,

\(q_1 = 1.0 \, \text{мкКл} = 0.000001 \, \text{Кл}\) - заряд шарика,

\(q_2 = 2.0 \, \text{мкКл} = 0.000002 \, \text{Кл}\) - заряд на плоскости,

\(k = 9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\) - постоянная электростатической силы.

Подставив эти значения в уравнение, мы можем найти значение \(v_{\text{основания}}\). Однако для удобства рассмотрим все части уравнения по отдельности.

m \cdot g \cdot h = 0.000041 \cdot 9.8 \cdot 3.0 \approx 0.0011988

\frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r} = \frac{9 \times 10^9 \cdot |0.000001 \cdot 0.000002|}{r} \approx 0.018

Итак,

0.0011988 + 0.018 = \frac{{0.000041 \cdot v_{\text{основания}}^2}}{2}

0.0191988 = \frac{{0.000041 \cdot v_{\text{основания}}^2}}{2}

Умножим обе части уравнения на 2:

0.0383976 = 0.000041 \cdot v_{\text{основания}}^2

Поделим обе части уравнения на 0.000041:

v_{\text{основания}}^2 = \frac{{0.0383976}}{{0.000041}}

v_{\text{основания}}^2 \approx 936.29

Извлекая квадратный корень, мы найдем значение скорости \(v_{\text{основания}}\):

v_{\text{основания}} \approx \sqrt{936.29} \approx 30.6 \, \text{м/с}

Таким образом, скорость шарика у основания плоскости составляет примерно 30.6 м/с.