1. В ящике есть 8 белых, 5 красных и 6 синих шаров. Если мы наудачу выбираем пять шаров, сколько возможных вариантов

1. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и применить формулу сочетаний. Если мы хотим выбрать 3 белых шара из 8 имеющихся, то есть \({8 \choose 3}\) комбинаций для выбора 3 белых шаров из 8. Остальные 2 места из 5 доступных заполняются произвольно, поэтому мы имеем \({5 + 2 \choose 2}\) комбинаций для выбора 2 шаров из 5 красных и 6 синих. Чтобы найти общее количество вариантов, мы умножаем эти два числа:

\[ {8 \choose 3} \cdot {5 + 2 \choose 2} = \frac{8!}{3!5!} \cdot \frac{7!}{2!5!} = \frac{8!}{3!2!3!} \cdot \frac{7!}{2!5!} = \frac{8!7!}{3!3!2!2!5!} = \frac{8 \cdot 7}{3 \cdot 2} = 56 \]

Таким образом, существует 56 возможных вариантов, в которых три из выбранных пяти шаров будут белыми.

2. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и принцип включения-исключения. Мы можем найти количество вариантов, в которых будет не менее трех цветных шаров, и затем вычесть количество вариантов с только белыми шарами и только одним цветным шаром.

Количество вариантов с только белыми шарами равно \({8 \choose 5}\) (\(8\) белых шаров выбираются из \(5\) доступных мест).

Количество вариантов с только одним цветным шаром равно \({5 \choose 1} \cdot {6 \choose 4}\) (\({5 \choose 1}\) выбираются \(1\) цветной шар из \(5\) доступных цветных и \({6 \choose 4}\) выбираются \(4\) белых шаров из \(6\) доступных белых).

Теперь мы можем использовать принцип включения-исключения, чтобы найти количество общих вариантов:

Количество вариантов с не менее трех цветными шарами = Общее количество вариантов - Количество вариантов с только белыми шарами - Количество вариантов с только одним цветным шаром

\[ = {19 \choose 5} - {8 \choose 5} - ({5 \choose 1} \cdot {6 \choose 4})\]
\[ = \frac{19!}{5!14!} - \frac{8!}{5!3!} - \frac{5!}{1!4!} \cdot \frac{6!}{4!2!}\]
\[ = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} - \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 4 \cdot 6}{1 \cdot 4 \cdot 2} \]
\[ = 11628 - 56 - 60 \]
\[ = 11412 \]

Таким образом, существует 11,412 возможных вариантов, в которых у нас будет не менее трех цветных шаров.

3. Вероятность того, что нужная карточка будет среди извлеченных наудачу трех карточек, зависит от общего количества карточек и количества карточек, которые мы ищем. В данном случае, у нас есть 7 фотокарточек, и одна из них нужная.

Вероятность извлечь нужную карточку из трех наудачу выбранных карточек можно вычислить с помощью метода комбинаторики. Мы можем выбрать 3 карточки из 7 доступных, поэтому общее количество вариантов будет \({7 \choose 3}\).

Таким образом, вероятность того, что нужная карточка будет среди извлеченных наудачу трех карточек, равна:

\[P = \frac{{7 \choose 3}}{{7 \choose 3}} = \frac{1}{1} = 1\]

То есть, вероятность равна 1, что означает, что нам обязательно удастся извлечь нужную карточку из трех наудачу выбранных.