Какова скорость материальной точки, движущейся по окружности радиуса R, в момент времени t1? Каковы тангенциальное

Чтобы найти скорость материальной точки в заданный момент времени \( t_1 \), нам необходимо получить производную уравнения ее движения по времени \( t \).

Дано: радиус окружности \( R = 4 \) м, \( A = 0 \) м/с, \( B = 2 \) м/с\(^2\), \( C = -2 \) м/с\(^3\), и момент времени \( t_1 \).

Из уравнения \( S = At + Bt^2 + Ct^3 \) мы можем получить скорость как производную по времени от \( S \).
Для этого вычислим производную:

\[
v(t) = \frac{{dS}}{{dt}} = A + 2Bt + 3Ct^2
\]

Теперь, чтобы найти скорость точки в момент времени \( t_1 \), заменим \( t \) на \( t_1 \) в выражении для \( v(t) \):

\[
v(t_1) = A + 2Bt_1 + 3Ct_1^2
\]

Тангенциальное ускорение точки в заданный момент времени можно найти, взяв производную от скорости по времени:

\[
a_t(t) = \frac{{dv}}{{dt}} = 2B + 6Ct
\]

Подставим \( t_1 \) в это выражение:

\[
a_t(t_1) = 2B + 6Ct_1
\]

Нормальное ускорение точки в момент времени \( t_1 \) равно радиусу окружности, умноженному на квадрат скорости и разделенному на радиус окружности:

\[
a_n(t_1) = \frac{{v(t_1)^2}}{{R}}
\]

Полное ускорение точки в момент времени \( t_1 \) может быть найдено по формуле:

\[
a(t_1) = \sqrt{{a_t(t_1)^2 + a_n(t_1)^2}}
\]

Таким образом, ответ на задачу:

Скорость точки в момент времени \( t_1 \) равна:

\[
v(t_1) = A + 2Bt_1 + 3Ct_1^2
\]

Тангенциальное ускорение точки в момент \( t_1 \) равно:

\[
a_t(t_1) = 2B + 6Ct_1
\]

Нормальное ускорение точки в момент \( t_1 \) равно:

\[
a_n(t_1) = \frac{{v(t_1)^2}}{{R}}
\]

Полное ускорение точки в момент времени \( t_1 \) равно:

\[
a(t_1) = \sqrt{{a_t(t_1)^2 + a_n(t_1)^2}}
\]