Какова скорость каждой тележки после взаимодействия?

Для того чтобы решить эту задачу, нам необходимо знать массу каждой тележки и скорость, с которой они двигались перед взаимодействием. Пусть масса первой тележки равна \(m_1\), масса второй тележки равна \(m_2\), а их скорости до взаимодействия равны \(v_1\) и \(v_2\) соответственно.

Взаимодействие между двумя тележками, находящимися на гладкой поверхности, можно описать законом сохранения импульса. Согласно этому закону, сумма импульсов перед взаимодействием должна быть равна сумме импульсов после взаимодействия.

Импульс \(P\) можно выразить как произведение массы на скорость: \(P = m \cdot v\). Таким образом, импульс первой тележки до взаимодействия равен \(P_{1\text{ до}} = m_1 \cdot v_1\), а импульс второй тележки до взаимодействия равен \(P_{2\text{ до}} = m_2 \cdot v_2\).

После взаимодействия, если нет внешних сил, изменяющих импульс системы, сумма импульсов должна сохраниться. Таким образом, импульс первой тележки после взаимодействия будет равен \(P_{1\text{ после}}\), а импульс второй тележки после взаимодействия будет равен \(P_{2\text{ после}}\).

Так как энергия сохраняется, то при упругом взаимодействии также сохраняется и кинетическая энергия системы. Кинетическая энергия первой тележки после взаимодействия будет равна \(K_{1\text{ после}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2\), а кинетическая энергия второй тележки после взаимодействия будет равна \(K_{2\text{ после}} = \frac{1}{2} m_2 v_2^2\).

Теперь мы можем воспользоваться законом сохранения импульса и кинетической энергии, чтобы решить задачу.

Закон сохранения импульса устанавливает равенство суммы импульсов до взаимодействия сумме импульсов после взаимодействия:

\[P_{1\text{ до}} + P_{2\text{ до}} = P_{1\text{ после}} + P_{2\text{ после}}.\]

Подставляем значения импульсов:

\[m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1" + m_2 v_2",\]

где \(v_1"\) и \(v_2"\) - скорости тележек после взаимодействия.

Закон сохранения кинетической энергии устанавливает равенство суммы кинетических энергий до взаимодействия сумме кинетических энергий после взаимодействия:

\[K_{1\text{ до}} + K_{2\text{ до}} = K_{1\text{ после}} + K_{2\text{ после}}.\]

Подставляем значения кинетических энергий:

\[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1"^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2"^2.\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(v_1"\) и \(v_2"\)).

Мы можем решить эту систему уравнений для определения скоростей тележек после взаимодействия:

\[\begin{cases}
m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1" + m_2 v_2", \\
\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1"^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2"^2.
\end{cases}\]

После решения этой системы уравнений, мы найдем значения скоростей тележек после взаимодействия \(v_1"\) и \(v_2"\).