Какова скорость каждой тележки после взаимодействия?

Для того чтобы решить эту задачу, нам необходимо знать массу каждой тележки и скорость, с которой они двигались перед взаимодействием. Пусть масса первой тележки равна $m_1$, масса второй тележки равна $m_2$, а их скорости до взаимодействия равны $v_1$ и $v_2$ соответственно.

Взаимодействие между двумя тележками, находящимися на гладкой поверхности, можно описать законом сохранения импульса. Согласно этому закону, сумма импульсов перед взаимодействием должна быть равна сумме импульсов после взаимодействия.

Импульс $P$ можно выразить как произведение массы на скорость: $P=m\cdot v$. Таким образом, импульс первой тележки до взаимодействия равен $P_{1\text{ до}}=m_1\cdot v_1$, а импульс второй тележки до взаимодействия равен $P_{2\text{ до}}=m_2\cdot v_2$.

После взаимодействия, если нет внешних сил, изменяющих импульс системы, сумма импульсов должна сохраниться. Таким образом, импульс первой тележки после взаимодействия будет равен $P_{1\text{ после}}$, а импульс второй тележки после взаимодействия будет равен $P_{2\text{ после}}$.

Так как энергия сохраняется, то при упругом взаимодействии также сохраняется и кинетическая энергия системы. Кинетическая энергия первой тележки после взаимодействия будет равна $K_{1\text{ после}}=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2$, а кинетическая энергия второй тележки после взаимодействия будет равна $K_{2\text{ после}}=\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2$.

Теперь мы можем воспользоваться законом сохранения импульса и кинетической энергии, чтобы решить задачу.

Закон сохранения импульса устанавливает равенство суммы импульсов до взаимодействия сумме импульсов после взаимодействия:

$$P_{1\text{ до}}+P_{2\text{ до}}=P_{1\text{ после}}+P_{2\text{ после}}.$$

Подставляем значения импульсов:

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1"+m_2{v}_2",$$

где $v_1"$ и $v_2"$ - скорости тележек после взаимодействия.

Закон сохранения кинетической энергии устанавливает равенство суммы кинетических энергий до взаимодействия сумме кинетических энергий после взаимодействия:

$$K_{1\text{ до}}+K_{2\text{ до}}=K_{1\text{ после}}+K_{2\text{ после}}.$$

Подставляем значения кинетических энергий:

$$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1{"}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2{"}^2.$$

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными ($v_1"$ и $v_2"$).

Мы можем решить эту систему уравнений для определения скоростей тележек после взаимодействия:

$$\{\begin{array}{l}{m}_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1"+m_2{v}_2",\\ \frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1{"}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2{"}^2.\end{array}$$

После решения этой системы уравнений, мы найдем значения скоростей тележек после взаимодействия $v_1"$ и $v_2"$.