Какова разность, первый член и сумма первых 11 членов арифметической прогрессии (An), если а6 = 10 и а9

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы арифметической прогрессии. Чтобы найти разность (d), первый член (a₁) и сумму первых 11 членов (Sₙ), нам нужно знать два известных члена прогрессии.

Из условия задачи, у нас есть информация о a₆ и a₉. Давайте воспользуемся ими для решения задачи.

Используем формулу общего члена арифметической прогрессии:
\[aₙ = a₁ + (n-1) d\]

Мы знаем, что a₆ = 10, так что мы можем подставить это в формулу:
\[10 = a₁ + (6-1) d\]

Раскрываем скобки и получаем:
\[10 = a₁ + 5d\]

Аналогичным образом, мы знаем, что a₉ нам тоже известно. Подставим это значение в формулу:
\[a₉ = a₁ + (9-1) d\]

Раскрываем скобки и получаем:
\[a₉ = a₁ + 8d\]

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными (a₁ и d):
\[\begin{cases} 10 = a₁ + 5d \\ a₉ = a₁ + 8d \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a₁ и d. Давайте это сделаем.

Вычтем из второго уравнения первое:
\[a₉ - 10 = (a₁ + 8d) - (a₁ + 5d)\]

Упростим выражение:
\[a₉ - 10 = 3d\]

Теперь у нас есть выражение для d:
\[d = \frac{{a₉ - 10}}{3}\]

Теперь, чтобы найти a₁, подставим найденное значение d в одно из исходных уравнений. Для удобства выберем первое:
\[10 = a₁ + 5d\]

Подставляем значение d:
\[10 = a₁ + 5 \left( \frac{{a₉ - 10}}{3} \right)\]

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:
\[10 = a₁ + \frac{{5a₉ - 50}}{3}\]

Перемножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:
\[30 = 3a₁ + 5a₉ - 50\]

Теперь выразим a₁ через известные значения:

\[3a₁ = 80 - 5a₉\]

\[a₁ = \frac{{80 - 5a₉}}{3}\]

Таким образом, мы получили формулы для нахождения разности (d) и первого члена (a₁), используя значение a₉.

Теперь давайте найдем сумму первых 11 членов (S₁₁) арифметической прогрессии.

Используем формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
\[Sₙ = \frac{n}{2}(2a₁ + (n - 1)d)\]

Мы знаем, что n = 11, поэтому подставим в формулу:

\[S₁₁ = \frac{11}{2}(2a₁ + (11 - 1)d)\]

Теперь у нас есть формула для нахождения суммы первых 11 членов арифметической прогрессии (S₁₁) с использованием найденных значений a₁ и d.

Надеюсь, этот ответ и решение помогут учащемуся в понимании арифметической прогрессии и способов нахождения разности, первого члена и суммы членов. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!