Какова производная функции f(x) = корень 2x-1 и каково её значение в точке x0=13?

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Для начала, нам нужно найти производную функции \( f(x) \), которая дана в виде корня из \( 2x-1 \).

1. Найдем производную функции \( f(x) \) с помощью правила дифференцирования композиции функций (цепного правила): сначала найдем производную внешней функции, затем производную внутренней функции и перемножим их.

Подставим значение внутренней функции: \( u = 2x-1 \).

Тогда внешняя функция будет: \( f(u) = \sqrt{u} \).

2. Найдем производную внешней функции \( f(u) \):

Дифференцируем функцию по переменной \( u \):

\[ f"(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \]

3. Теперь найдем производную внутренней функции \( u = 2x-1 \):

\[ u" = \frac{d}{dx} (2x-1) = 2 \]

4. Применим цепное правило:

\[ \frac{df}{dx} = f"(u) \cdot u" \]

\[ \frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2 \]

5. Подставим обратно значение внутренней функции:

\[ \frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \cdot 2 \]

6. Теперь мы можем найти значение производной в точке \( x_0 = 13 \). Подставим \( x_0 \) в производную функции:

\[ \frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot 13 - 1}} \cdot 2 \]

\[ \frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{25}} \cdot 2 \]

\[ \frac{df}{dx} = \frac{1}{10} \cdot 2 \]

\[ \frac{df}{dx} = \frac{2}{10} \]

\[ \frac{df}{dx} = \frac{1}{5} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \sqrt{2x-1} \) равна \( \frac{1}{5} \), и значение производной в точке \( x_0 = 13 \) также равно \( \frac{1}{5} \).