Какова продолжительность полураспада атомов тория, если в образце с их большим количеством останется половина

Чтобы найти продолжительность полураспада атомов тория, мы можем использовать формулу распада, которая выполняется для радиоактивных веществ:

\[ N(t) = N_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}} \]

где:
- \( N(t) \) - количество оставшихся атомов после прошедшего времени \( t \)
- \( N_0 \) - начальное количество атомов
- \( T_{\frac{1}{2}} \) - продолжительность полураспада

В данном случае нам известно, что в образце с большим количеством атомов тория останется половина начального количества через 19 суток. Это означает, что \( N(t) = \frac{1}{2} N_0 \) и \( t = 19 \) суток.

Подставляя эти значения в формулу, мы получим:

\[ \frac{1}{2} N_0 = N_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{19}{T_{\frac{1}{2}}}} \]

Чтобы избавиться от \( N_0 \), можно разделить обе части уравнения на \( N_0 \):

\[ \frac{1}{2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{19}{T_{\frac{1}{2}}}} \]

Теперь мы можем найти \( T_{\frac{1}{2}} \), возведя обе части уравнения в степень \( \frac{1}{19} \):

\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{19}} = \frac{1}{2^{\frac{19}{T_{\frac{1}{2}}}}} \]

Заметим, что слева у нас осталось значение, равное числу равновероятностей попадания наступления одного из двух равновероятных результатов для 19 испытаний. Поэтому мы можем записать:

\[ \frac{1}{2} = \frac{1}{2^{\frac{19}{T_{\frac{1}{2}}}}} \]

Переместим \( \frac{1}{2} \) в знаменатель:

\[ 2^{\frac{19}{T_{\frac{1}{2}}}} = 2 \]

И упростим уравнение, применив логарифмы с обеих сторон:

\[ \frac{19}{T_{\frac{1}{2}}} \cdot \log(2) = \log(2) \]

Теперь делим обе части уравнения на \( \log(2) \):

\[ \frac{19}{T_{\frac{1}{2}}} = 1 \]

И затем умножаем обе части на \( T_{\frac{1}{2}} \):

\[ 19 = T_{\frac{1}{2}} \]

Таким образом, продолжительность полураспада атомов тория равна 19 суткам.