Какова полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой радиус окружности, описанной около основания, равен 3 корень из 2, а апофема равна 10 см?
Бублик
Для начала, давайте разберёмся в терминологии. Полная поверхность пирамиды включает все её боковые грани и основание. Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в форме четырехугольника, все стороны которого равны, и все углы между сторонами равны.
В данной задаче нам даны два параметра:
1. Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равный \(3\sqrt{2}\).
2. Апофема пирамиды, то есть расстояние от вершины пирамиды до центра основания, которое нам не дано.
Для решения задачи нам понадобится формула для вычисления площади поверхности пирамиды, связывающая боковые грани и основание пирамиды. Сначала найдем высоту пирамиды, которая является одной из сторон треугольника, образующегося между центром основания, вершиной пирамиды и точкой на окружности, описанной около основания.
Рассмотрим треугольник, образованный радиусом окружности, описанной около основания пирамиды, и высотой пирамиды. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус и высота перпендикулярны между собой. Значит, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды.
Пусть \(r\) - радиус окружности, а \(h\) - высота пирамиды. Тогда по теореме Пифагора получаем:
\[h^2 = r^2 - (\text{половина стороны основания})^2 = r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
Здесь \(a\) - длина стороны основания. Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, все стороны основания равны. Пусть \(a\) - длина стороны основания, тогда:
\[h^2 = r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = (3\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 18 - \frac{a^2}{4}\]
Теперь нам нужно найти длину апофемы пирамиды. Апофема является радиусом описанной сферы, в которую можно вписать пирамиду. Апофема связана с высотой пирамиды и радиусом окружности, описанной около основания, следующим образом:
\[a^2 = h^2 + r^2\]
Подставив найденное значение \(h\), получаем:
\[a^2 = (18 - \frac{a^2}{4}) + (3\sqrt{2})^2\]
\[a^2 = 18 - \frac{a^2}{4} + 18\]
\[a^2 + \frac{a^2}{4} = 36\]
\[\frac{5a^2}{4} = 36\]
\[a^2 = \frac{144}{5}\]
\[a = \sqrt{\frac{144}{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 12\]
Теперь, когда у нас есть длина стороны основания пирамиды (\(a\)), мы можем найти её площадь. Пусть \(S\) - площадь основания пирамиды, тогда:
\[S = a^2 = (12)^2 = 144\]
Так как у нас правильная пирамида и все грани боковые равносторонние треугольники, то площадь одного бокового треугольника равна:
\[\frac{a \cdot h}{2}\]
Где \(h\) - высота пирамиды (которую мы уже нашли), а \(a\) - длина стороны основания.
Теперь мы можем найти площадь всех боковых граней пирамиды, перемножив площадь одного бокового треугольника на число боковых граней (равное 4, так как у нас четырехугольная пирамида):
\[4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 4 \cdot \frac{12 \cdot 6}{2} = 144\]
И, наконец, для нахождения полной поверхности пирамиды нам нужно добавить площадь основания и площадь боковых граней:
\[S_{\text{полная поверхность}} = S + 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 144 + 4 \cdot \frac{12 \cdot 6}{2} = 144 + 4 \cdot 72 = 144 + 288 = 432\]
Таким образом, полная поверхность данной четырехугольной пирамиды равна 432 квадратные единицы.
В данной задаче нам даны два параметра:
1. Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равный \(3\sqrt{2}\).
2. Апофема пирамиды, то есть расстояние от вершины пирамиды до центра основания, которое нам не дано.
Для решения задачи нам понадобится формула для вычисления площади поверхности пирамиды, связывающая боковые грани и основание пирамиды. Сначала найдем высоту пирамиды, которая является одной из сторон треугольника, образующегося между центром основания, вершиной пирамиды и точкой на окружности, описанной около основания.
Рассмотрим треугольник, образованный радиусом окружности, описанной около основания пирамиды, и высотой пирамиды. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус и высота перпендикулярны между собой. Значит, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды.
Пусть \(r\) - радиус окружности, а \(h\) - высота пирамиды. Тогда по теореме Пифагора получаем:
\[h^2 = r^2 - (\text{половина стороны основания})^2 = r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
Здесь \(a\) - длина стороны основания. Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, все стороны основания равны. Пусть \(a\) - длина стороны основания, тогда:
\[h^2 = r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = (3\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 18 - \frac{a^2}{4}\]
Теперь нам нужно найти длину апофемы пирамиды. Апофема является радиусом описанной сферы, в которую можно вписать пирамиду. Апофема связана с высотой пирамиды и радиусом окружности, описанной около основания, следующим образом:
\[a^2 = h^2 + r^2\]
Подставив найденное значение \(h\), получаем:
\[a^2 = (18 - \frac{a^2}{4}) + (3\sqrt{2})^2\]
\[a^2 = 18 - \frac{a^2}{4} + 18\]
\[a^2 + \frac{a^2}{4} = 36\]
\[\frac{5a^2}{4} = 36\]
\[a^2 = \frac{144}{5}\]
\[a = \sqrt{\frac{144}{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 12\]
Теперь, когда у нас есть длина стороны основания пирамиды (\(a\)), мы можем найти её площадь. Пусть \(S\) - площадь основания пирамиды, тогда:
\[S = a^2 = (12)^2 = 144\]
Так как у нас правильная пирамида и все грани боковые равносторонние треугольники, то площадь одного бокового треугольника равна:
\[\frac{a \cdot h}{2}\]
Где \(h\) - высота пирамиды (которую мы уже нашли), а \(a\) - длина стороны основания.
Теперь мы можем найти площадь всех боковых граней пирамиды, перемножив площадь одного бокового треугольника на число боковых граней (равное 4, так как у нас четырехугольная пирамида):
\[4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 4 \cdot \frac{12 \cdot 6}{2} = 144\]
И, наконец, для нахождения полной поверхности пирамиды нам нужно добавить площадь основания и площадь боковых граней:
\[S_{\text{полная поверхность}} = S + 4 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 144 + 4 \cdot \frac{12 \cdot 6}{2} = 144 + 4 \cdot 72 = 144 + 288 = 432\]
Таким образом, полная поверхность данной четырехугольной пирамиды равна 432 квадратные единицы.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
