Какова полная поверхность пирамиды SABCD, если ее основание - прямоугольник ABCD со сторонами AB=8см и BC=15см, боковое ребро SB перпендикулярно основанию, а угол между ребром SD и плоскостью основания составляет 60 градусов?
Zvezdopad_Shaman
Чтобы найти полную поверхность пирамиды, нам нужно найти площадь ее основания и площадь боковой поверхности, а затем сложить их.
1. Площадь основания:
Основание пирамиды - прямоугольник ABCD. Даны стороны AB = 8 см и BC = 15 см. Чтобы найти площадь прямоугольника, умножим его длину на ширину:
\( S_{\text{осн}} = AB \cdot BC \) (формула прямоугольника)
\( S_{\text{осн}} = 8 \, \text{см} \cdot 15 \, \text{см} \)
\( S_{\text{осн}} = 120 \, \text{см}^2 \)
Таким образом, площадь основания пирамиды равна 120 см².
2. Площадь боковой поверхности:
У нас есть боковое ребро SB, которое перпендикулярно основанию, и угол между ребром SD и плоскостью основания составляет 60 градусов. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам сначала нужно найти длину стороны SB, а затем площадь треугольника SBD с помощью формулы Герона.
2.1 Найдем длину ребра SB. В прямоугольнике ABCD ребро SB равно одной из его сторон, поэтому SB = AB = 8 см.
2.2 Найдем площадь треугольника SBD с помощью формулы Герона.
Для этого нам понадобятся стороны треугольника SBD. У нас уже есть SB = 8 см, теперь нам нужно найти длину ребра SD.
Чтобы найти ребро SD, воспользуемся синусом угла между ребром SD и плоскостью основания. Мы знаем, что угол составляет 60 градусов, поэтому:
\[SD = SB \cdot \sin(60^\circ) = 8 \, \text{см} \cdot \sin(60^\circ)\]
\[SD = 8 \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{см}\]
Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника, и мы можем найти его площадь с помощью формулы Герона:
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p - SB)(p - SD)(p - BD)},\]
где \(p\) - полупериметр треугольника, который равен сумме длин его сторон, деленной на 2:
\[p = \frac{SB + SD + BD}{2}.\]
Подставляя значения в формулу Герона, получим:
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p - SB)(p - SD)(p - BD)} = \sqrt{p(8 \, \text{см})(4\sqrt{3} \, \text{см})(BD)},\]
где \(BD\) - ширина прямоугольника ABCD. Мы можем найти \(BD\) по теореме Пифагора:
\[BD = \sqrt{BC^2 - CD^2},\]
где \(CD\) - длина прямоугольника ABCD. Мы знаем, что прямоугольник ABCD - прямоугольник, поэтому \(CD = AB = 8 \, \text{см}\). Подставляя значения в формулу, получим:
\[BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{(15 \, \text{см})^2 - (8 \, \text{см})^2} = \sqrt{225 \, \text{см}^2 - 64 \, \text{см}^2} = \sqrt{161 \, \text{см}^2} = 13 \, \text{см}.\]
Теперь мы можем рассчитать ширину \(p\):
\[p = \frac{SB + SD + BD}{2} = \frac{8 \, \text{см} + 4\sqrt{3} \, \text{см} + 13 \, \text{см}}{2} = \frac{21 + 4\sqrt{3}}{2} = 10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см}.\]
Подставляя значения в формулу площади треугольника Герона, получим:
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p - SB)(p - SD)(p - BD)} = \sqrt{(10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см}) \cdot (10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см} - 8 \, \text{см}) \cdot (10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см} - 4\sqrt{3} \, \text{см}) \cdot (10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см} - 13 \, \text{см})},\]
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{(10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см}) \cdot (2.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см}) \cdot (10.5 - 2\sqrt{3} \, \text{см}) \cdot (-2.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см})}.\]
Теперь, зная площадь треугольника, мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. У нас четыре треугольника SBD, поэтому площадь боковой поверхности равна:
\[S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}}.\]
3. Найдем полную поверхность пирамиды:
Чтобы найти полную поверхность пирамиды, сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}.\]
Подставляя значения, получим:
\[S_{\text{полная}} = 120 \, \text{см}^2 + 4 \cdot S_{\text{треугольника}}.\]
Теперь можно посчитать значение \(S_{\text{полная}}\), подставив значение \(S_{\text{треугольника}}\).
Например, если бы мы нашли, что \(S_{\text{треугольника}} = 25 \, \text{см}^2\), тогда:
\[S_{\text{полная}} = 120 \, \text{см}^2 + 4 \cdot 25 \, \text{см}^2 = 120 \, \text{см}^2 + 100 \, \text{см}^2 = 220 \, \text{см}^2.\]
Таким образом, полная поверхность пирамиды равна 220 см².
1. Площадь основания:
Основание пирамиды - прямоугольник ABCD. Даны стороны AB = 8 см и BC = 15 см. Чтобы найти площадь прямоугольника, умножим его длину на ширину:
\( S_{\text{осн}} = AB \cdot BC \) (формула прямоугольника)
\( S_{\text{осн}} = 8 \, \text{см} \cdot 15 \, \text{см} \)
\( S_{\text{осн}} = 120 \, \text{см}^2 \)
Таким образом, площадь основания пирамиды равна 120 см².
2. Площадь боковой поверхности:
У нас есть боковое ребро SB, которое перпендикулярно основанию, и угол между ребром SD и плоскостью основания составляет 60 градусов. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам сначала нужно найти длину стороны SB, а затем площадь треугольника SBD с помощью формулы Герона.
2.1 Найдем длину ребра SB. В прямоугольнике ABCD ребро SB равно одной из его сторон, поэтому SB = AB = 8 см.
2.2 Найдем площадь треугольника SBD с помощью формулы Герона.
Для этого нам понадобятся стороны треугольника SBD. У нас уже есть SB = 8 см, теперь нам нужно найти длину ребра SD.
Чтобы найти ребро SD, воспользуемся синусом угла между ребром SD и плоскостью основания. Мы знаем, что угол составляет 60 градусов, поэтому:
\[SD = SB \cdot \sin(60^\circ) = 8 \, \text{см} \cdot \sin(60^\circ)\]
\[SD = 8 \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{см}\]
Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника, и мы можем найти его площадь с помощью формулы Герона:
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p - SB)(p - SD)(p - BD)},\]
где \(p\) - полупериметр треугольника, который равен сумме длин его сторон, деленной на 2:
\[p = \frac{SB + SD + BD}{2}.\]
Подставляя значения в формулу Герона, получим:
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p - SB)(p - SD)(p - BD)} = \sqrt{p(8 \, \text{см})(4\sqrt{3} \, \text{см})(BD)},\]
где \(BD\) - ширина прямоугольника ABCD. Мы можем найти \(BD\) по теореме Пифагора:
\[BD = \sqrt{BC^2 - CD^2},\]
где \(CD\) - длина прямоугольника ABCD. Мы знаем, что прямоугольник ABCD - прямоугольник, поэтому \(CD = AB = 8 \, \text{см}\). Подставляя значения в формулу, получим:
\[BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{(15 \, \text{см})^2 - (8 \, \text{см})^2} = \sqrt{225 \, \text{см}^2 - 64 \, \text{см}^2} = \sqrt{161 \, \text{см}^2} = 13 \, \text{см}.\]
Теперь мы можем рассчитать ширину \(p\):
\[p = \frac{SB + SD + BD}{2} = \frac{8 \, \text{см} + 4\sqrt{3} \, \text{см} + 13 \, \text{см}}{2} = \frac{21 + 4\sqrt{3}}{2} = 10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см}.\]
Подставляя значения в формулу площади треугольника Герона, получим:
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p - SB)(p - SD)(p - BD)} = \sqrt{(10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см}) \cdot (10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см} - 8 \, \text{см}) \cdot (10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см} - 4\sqrt{3} \, \text{см}) \cdot (10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см} - 13 \, \text{см})},\]
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{(10.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см}) \cdot (2.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см}) \cdot (10.5 - 2\sqrt{3} \, \text{см}) \cdot (-2.5 + 2\sqrt{3} \, \text{см})}.\]
Теперь, зная площадь треугольника, мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. У нас четыре треугольника SBD, поэтому площадь боковой поверхности равна:
\[S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}}.\]
3. Найдем полную поверхность пирамиды:
Чтобы найти полную поверхность пирамиды, сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}.\]
Подставляя значения, получим:
\[S_{\text{полная}} = 120 \, \text{см}^2 + 4 \cdot S_{\text{треугольника}}.\]
Теперь можно посчитать значение \(S_{\text{полная}}\), подставив значение \(S_{\text{треугольника}}\).
Например, если бы мы нашли, что \(S_{\text{треугольника}} = 25 \, \text{см}^2\), тогда:
\[S_{\text{полная}} = 120 \, \text{см}^2 + 4 \cdot 25 \, \text{см}^2 = 120 \, \text{см}^2 + 100 \, \text{см}^2 = 220 \, \text{см}^2.\]
Таким образом, полная поверхность пирамиды равна 220 см².
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
