Какова плотность материала, из которого изготовлены шары, если радиус нижнего шара в два раза больше верхнего и нижний

Для решения этой задачи, нам нужно использовать знание о плотности и применить принцип Архимеда.

Плотность (по определению) равна массе материала, деленной на его объем. Обозначим плотность искомого материала как $\rho$, радиус нижнего шара - $R_2$, радиус верхнего шара - $R_1$.

Первым шагом найдем массу верхнего шара $m_1$. Для этого заметим, что распределение давления в жидкости равномерно по горизонтали. Так как нижний шар перестает давить на дно при наливе воды до середины верхнего шара, то давление воды давит снизу кверху с силой, равной весу этого верхнего шара.

Воспользуемся формулой для вычисления объема шара:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$

Масса вышеуказанного объема материала равна:
$$m=\rho V$$

Исходя из условия задачи, верхний шар имеет в два раза меньший радиус, чем нижний шар:
$$R_1=\frac{1}{2}{R}_2$$

Теперь мы можем выразить массу верхнего шара через его объем:
$$m_1=\rho V_1=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_1^3$$

Далее, найдем массу воды, необходимую для создания такой же силы давления, что и верхний шар. Если мы поделим массу верхнего шара на плотность воды ${\rho }_0$, получим объем воды $V_0$ в верхнем шаре, который создает одинаковую силу давления:
$$V_0=\frac{m_1}{{\rho }_0}$$

Так как вода налита до середины верхнего шара, относительно полного объема шара вода занимает половину:
$$V_0=\frac{1}{2}{V}_{\text{шара}}$$

Теперь мы можем записать это уравнение и выразить объем шара:
$$\frac{1}{2}{V}_{\text{шара}}=\frac{m_1}{{\rho }_0}$$
$$V_{\text{шара}}=\frac{2m_1}{{\rho }_0}$$

Наконец, plотность материала шара $\rho$ может быть найдена из отношения массы шара к его объему:
$$\rho =\frac{m_1}{V_{\text{шара}}}=\frac{m_1}{\frac{2m_1}{{\rho }_0}}=\frac{{\rho }_0}{2}$$

Таким образом, плотность материала, из которого изготовлены шары, будет составлять половину плотности воды в сосуде:
$$\rho =\frac{{\rho }_0}{2}$$