Какова плотность материала, из которого изготовлены шары, если радиус нижнего шара в два раза больше верхнего и нижний

Для решения этой задачи, нам нужно использовать знание о плотности и применить принцип Архимеда.

Плотность (по определению) равна массе материала, деленной на его объем. Обозначим плотность искомого материала как \(\rho\), радиус нижнего шара - \(R_2\), радиус верхнего шара - \(R_1\).

Первым шагом найдем массу верхнего шара \(m_1\). Для этого заметим, что распределение давления в жидкости равномерно по горизонтали. Так как нижний шар перестает давить на дно при наливе воды до середины верхнего шара, то давление воды давит снизу кверху с силой, равной весу этого верхнего шара.

Воспользуемся формулой для вычисления объема шара:
\[V = \frac{4}{3}\pi R^3\]

Масса вышеуказанного объема материала равна:
\[m = \rho V\]

Исходя из условия задачи, верхний шар имеет в два раза меньший радиус, чем нижний шар:
\[R_1 = \frac{1}{2} R_2\]

Теперь мы можем выразить массу верхнего шара через его объем:
\[m_1 = \rho V_1 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R_1^3\]

Далее, найдем массу воды, необходимую для создания такой же силы давления, что и верхний шар. Если мы поделим массу верхнего шара на плотность воды \(\rho_0\), получим объем воды \(V_0\) в верхнем шаре, который создает одинаковую силу давления:
\[V_0 = \frac{m_1}{\rho_0}\]

Так как вода налита до середины верхнего шара, относительно полного объема шара вода занимает половину:
\[V_0 = \frac{1}{2} V_{\text{шара}}\]

Теперь мы можем записать это уравнение и выразить объем шара:
\[\frac{1}{2} V_{\text{шара}} = \frac{m_1}{\rho_0}\]
\[V_{\text{шара}} = \frac{2 m_1}{\rho_0}\]

Наконец, plотность материала шара \(\rho\) может быть найдена из отношения массы шара к его объему:
\[\rho = \frac{m_1}{V_{\text{шара}}} = \frac{m_1}{\frac{2 m_1}{\rho_0}} = \frac{\rho_0}{2}\]

Таким образом, плотность материала, из которого изготовлены шары, будет составлять половину плотности воды в сосуде:
\[\rho = \frac{\rho_0}{2}\]