Какова площадь замкнутой области, ограниченной линиями y=x , y=11−x , x=0?

Для решения этой задачи, нам нужно нарисовать графики данных линий и найти площадь замкнутой области, ограниченной этими линиями.

Первая линия y = x - это прямая с положительным наклоном, проходящая через начало координат (0,0).

Вторая линия y = 11 - x - это прямая с отрицательным наклоном, пересекающая ось Y в точке (0,11).

Третья линия x = 0 - это вертикальная линия, проходящая через ось X в точке (0,0).

Для построения графиков, нарисуем эти три линии на координатной плоскости:

\[ \begin{array}{ c }
\begin{tikzpicture}

\draw[->] (-1,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,12) node[above] {$y$};

\draw[thick, domain=0:11] plot(\x, {\x}) node[right] {$y = x$};
\draw[thick, domain=0:11] plot(\x,{11-\x}) node[right] {$y = 11 - x$};
\draw[thick, domain=0:11] (\x,0) -- (\x,11);

\fill[gray,opacity=0.3] (0,0) -- (11,11) -- (0,11) -- cycle;

\end{tikzpicture}
\end{array} \]

Как мы можем видеть из графика, данная замкнутая область заключена между двумя прямыми \( y = x \) и \( y = 11 - x \), а также вертикальной линией \( x = 0 \).

Чтобы найти площадь этой области, мы должны найти площадь треугольника, образованного точками пересечения этих трех линий.

Сначала найдем точку пересечения прямой \( y = x \) и \( y = 11 - x \). Приравниваем выражения:

\[ x = 11 - x \]

\[ 2x = 11 \]

\[ x = \frac{11}{2} \]

Таким образом, точка пересечения находим как ( \(\frac{11}{2}\), \(\frac{11}{2}\) ).

Затем найдем точку пересечения прямой \( y = x \) и вертикальной линии \( x = 0 \). Подставляя \( x = 0 \) в уравнение \( y = x \), получаем \( y = 0 \).

Таким образом, точка пересечения находим как ( 0, 0 ).

Итак, нам нужно найти площадь треугольника, образованного точками ( 0, 0 ), ( 0, 11 ) и ( \(\frac{11}{2}\), \(\frac{11}{2}\) ).

Для нахождения площади треугольника, используем формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{Основание} \cdot \text{Высота} \]

В данном случае, основание равно \( \frac{11}{2} \), а высота равна 11. Подставляя значения в формулу, получаем:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2} \cdot 11 = \frac{121}{4} = 30.25 \]

Таким образом, площадь замкнутой области, ограниченной линиями \( y = x \), \( y = 11 - x \) и \( x = 0 \) равна 30.25 квадратных единиц.