Какова длина диагоналей параллелограмма с сторонами 7 см и 6√2 см, при условии, что один из углов равен 45 градусам?

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма с заданными сторонами и одним углом равным 45 градусам, мы можем использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов в треугольнике гласит: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\), где \(c\) - длина третьей стороны треугольника, \(a\) и \(b\) - длины остальных сторон, \(C\) - угол, противолежащий стороне \(c\).

Для параллелограмма с одним углом равным 45 градусам, диагонали являются сторонами треугольника. Давайте назовем длины диагоналей \(d_1\) и \(d_2\).

Первая диагональ параллелограмма представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, где катеты равны сторонам параллелограмма. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[d_1^2 = (7\,см)^2 + (6\sqrt{2}\,см)^2 - 2(7\,см)(6\sqrt{2}\,см)\cos(45^\circ)\]

\[d_1^2 = 49\,см^2 + 72\,см^2 - 84\sqrt{2}\,см^2\]

\[d_1^2 = 121\,см^2 - 84\sqrt{2}\,см^2\]

\[d_1^2 = (121 - 84\sqrt{2})\,см^2\]

\[d_1 = \sqrt{121 - 84\sqrt{2}}\,см\]

Мы получили длину первой диагонали параллелограмма. Теперь давайте найдем длину второй диагонали \(d_2\).

Вторая диагональ также является гипотенузой прямоугольного треугольника, но катетами будут другие стороны параллелограмма. Таким образом, уравнение имеет вид:

\[d_2^2 = (6\sqrt{2}\,см)^2 + (7\,см)^2 - 2(6\sqrt{2}\,см)(7\,см)\cos(45^\circ)\]

\[d_2^2 = 72\,см^2 + 49\,см^2 - 84\sqrt{2}\,см^2\]

\[d_2^2 = 121\,см^2 - 84\sqrt{2}\,см^2\]

\[d_2^2 = (121 - 84\sqrt{2})\,см^2\]

\[d_2 = \sqrt{121 - 84\sqrt{2}}\,см\]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма с заданными сторонами и углом равным 45 градусам равны:
\(d_1 = \sqrt{121 - 84\sqrt{2}}\,см\) и \(d_2 = \sqrt{121 - 84\sqrt{2}}\,см\).