Какова площадь закрашенной области, при условии, что радиус окружности составляет 3 см и центральный угол FOE равен

Чтобы найти площадь закрашенной области, нам понадобится вычислить площадь сектора окружности FOE и вычесть площадь треугольника FDE из площади сектора.

1. Сектор окружности FOE:
Для вычисления площади этого сектора нам понадобится формула площади сектора окружности: \(S_{\text{сектора}} = \frac{{\pi \cdot r^2 \cdot \alpha}}{{360}}\), где \(r\) - радиус окружности, \(\alpha\) - центральный угол в градусах.

В данной задаче радиус окружности составляет 3 см, а центральный угол FOE равен 90°. Подставляя значения в формулу, получаем:
\[S_{\text{сектора}} = \frac{{\pi \cdot 3^2 \cdot 90}}{{360}}\]

2. Теперь вычислим площадь треугольника FDE:
Площадь треугольника можно найти, используя формулу площади треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{{\text{основание} \cdot \text{высота}}}{2}\).

В данном случае основание треугольника равно стороне треугольника DE, которая равна радиусу окружности, то есть 3 см. Высоту треугольника можно найти, зная, что FDE - прямоугольный треугольник с гипотенузой FO, равной радиусу окружности.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \(DE^2 + ED^2 = FO^2\).
Поскольку DE = ED, формулу можно упростить: \(2 \cdot DE^2 = FO^2\).
Подставляя значения, получаем: \(2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18\).
Полученное значение - квадрат высоты треугольника. Чтобы найти высоту FDE, извлечём квадратный корень: \(h = \sqrt{18}\).

Теперь мы можем найти площадь треугольника FDE, подставляя найденные значения в формулу:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{3 \cdot \sqrt{18}}}{2}\]

3. Наконец, найдём площадь закрашенной области:
Площадь закрашенной области, обозначим её S, равна разности площади сектора и площади треугольника: \(S = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}}\).
Подставляем значения:
\[S = \frac{{\pi \cdot 3^2 \cdot 90}}{{360}} - \frac{{3 \cdot \sqrt{18}}}{2}\]

Таким образом, площадь закрашенной области будет равна полученному значению \(S\). Необходимо только произвести вычисления и округлить ответ до необходимого количества знаков после запятой, если это требуется.