Какова площадь закрашенной части в данном правильном восьмиугольнике со стороной 32? Заранее

Для решения этой задачи о площади закрашенной части восьмиугольника сначала нужно понять, какую часть общей площади восьмиугольника составляет закрашенная область. Затем мы можем вычислить эту площадь.

Правильный восьмиугольник состоит из 8 равных сторон и 8 равных углов. Мы можем разбить его на 8 равных треугольников, опирающихся на центр восьмиугольника. Поскольку угол в центре восьмиугольника равен 360 градусов, каждый угол треугольника будет равен \(\frac{360}{8} = 45\) градусов.

Таким образом, получаем, что каждый треугольник восьмиугольника – это равнобедренный треугольник со сторонами 32, 32 и 32√2.

Теперь мы можем рассчитать площадь одного из таких треугольников. Для этого воспользуемся формулой площади равнобедренного треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\alpha)\]

Где \(a\) и \(b\) - равные стороны треугольника, а \(\alpha\) – угол между этими сторонами.

В нашем случае, \(a = b = 32\) и \(\alpha = 45^\circ\), поэтому можно вычислить площадь одного треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times 32 \times 32 \times \sin(45^\circ)\]

Рассчитывая эту формулу, получаем:

\[S = \frac{1}{2} \times 32 \times 32 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 512\sqrt{2}\]

Теперь, чтобы получить общую площадь закрашенной части восьмиугольника, мы умножаем площадь одного треугольника на 8:

\[S_{\text{закр}} = 8 \times 512\sqrt{2} = 4096\sqrt{2}\]

Итак, площадь закрашенной части восьмиугольника со стороной 32 равна \(4096\sqrt{2}\).