Какова площадь всех граней правильного тетраэдра, если его ребро равно

Для начала, давайте обозначим данную величину как "а" - длина ребра тетраэдра.

Тетраэдр - это многогранник, состоящий из четырех треугольных граней. Чтобы определить площадь каждой грани, мы должны знать их форму и размеры.

У правильного тетраэдра все его грани равносторонние треугольники. Если длина ребра "а", то сторона треугольника, образующего одну из граней, также будет равна "а".

Вычислим площадь каждой грани. Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - a)(p - a)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина стороны треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника \(p = \frac{3a}{2}\).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S = \sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \left(\frac{3a}{2} - a\right) \cdot \left(\frac{3a}{2} - a\right) \cdot \left(\frac{3a}{2} - a\right)}\]

\[S = \sqrt{\frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}\]

\[S = \frac{\sqrt{27}a^2}{4}\]

Таким образом, площадь одной грани равна \(\frac{\sqrt{27}a^2}{4}\).

У тетраэдра четыре грани, поэтому общая площадь всех граней будет равна четырем умноженным на площадь одной грани:

\[S_{\text{граней}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{27}a^2}{4}\]

\[S_{\text{граней}} = \sqrt{27}a^2\]

Итак, площадь всех граней правильного тетраэдра с ребром длиной "а" равна \(\sqrt{27}a^2\).