Какова площадь треугольника с длиной стороны 14 см и высотой, опущенной на эту сторону?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. В данной задаче у нас есть треугольник с известной длиной одной его стороны и высотой, опущенной на эту сторону. Давайте обозначим эти значения:

Длина стороны треугольника: \(a = 14 \, \text{см}\)
Высота, опущенная на эту сторону: \(h\)

2. Зная, что высота проведена к основанию треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times a \times h\]

Где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина стороны, \(h\) - высота, опущенная на эту сторону.

3. Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь:

\[S = \frac{1}{2} \times 14 \, \text{см} \times h\]

4. Однако, у нас осталась неизвестная величина - высота треугольника. Давайте разберемся, как ее найти.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к основанию. Так как высота проведена к одной из сторон треугольника, она разбивает его на два прямоугольных треугольника.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту треугольника. По теореме Пифагора:

\[h^2 = c^2 - p^2\]

Где \(h\) - высота треугольника, \(c\) - гипотенуза прямоугольного треугольника, \(p\) - катет прямоугольного треугольника. В нашем случае гипотенуза - это сторона треугольника, а катет - это половина длины этой стороны.

5. Подставим известное значение длины стороны \(a\) в формулу для катета и гипотенузы:

Гипотенуза:
\(c = a = 14 \, \text{см}\)

Катет:
\(p = \frac{1}{2} \times a = \frac{1}{2} \times 14 \, \text{см}\)

6. Подставим значения катета и гипотенузы в формулу для высоты:

\(h^2 = (14 \, \text{см})^2 - \left(\frac{1}{2} \times 14 \, \text{см}\right)^2\)

Вычислим значения в скобках:

\(h^2 = 196 \, \text{см}^2 - 49 \, \text{см}^2\)

\(h^2 = 147 \, \text{см}^2\)

7. Найдем значение высоты \(h\) найдя квадратный корень из \(h^2\):

\(h = \sqrt{147 \, \text{см}^2} \approx 12.125 \, \text{см}\)

8. Теперь, когда у нас есть значение высоты \(h\), мы можем подставить его в начальную формулу для площади треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \times 14 \, \text{см} \times 12.125 \, \text{см}\)

9. Вычислим площадь:

\(S \approx 85.0625 \, \text{см}^2\)

Итак, площадь треугольника с длиной стороны 14 см и высотой, опущенной на эту сторону, приближенно равна 85.0625 квадратных см.