Какова площадь треугольника, образованного точками p, q и r, расположенными на сторонах ab, bc и cd квадрата abcd

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать площадь треугольника формулу Герона. Сначала нам нужно найти длины сторон треугольника pqr.

Известно, что отрезок ap равен 1, а сторона ab квадрата abcd равна 10. Значит, длина отрезка pb будет равна pb = ab - ap = 10 - 1 = 9.

Аналогично, длина отрезка bq будет равна bq = bc - bp = 10 - 2 = 8.

Теперь, давайте найдем длину отрезка qr. Мы знаем, что длина отрезка dr равна 2, а сторона cd квадрата abcd равна 10. Значит, длина отрезка cr будет равна cr = cd - dr = 10 - 2 = 8.
Так как qr расположено на стороне cr, получаем qr = cr = 8.

Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника pqr: pq = 9, qr = 8 и rp = 8.

Далее, мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника pqr:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\],

где \(p = \frac{a + b + c}{2}\), a, b, и c - это длины сторон треугольника.

Подставим значения:

\(p = \frac{(pq + qr + rp)}{2} = \frac{(9 + 8 + 8)}{2} = \frac{25}{2}\).

Тогда площадь треугольника pqr будет равна:

\[S = \sqrt{\frac{25}{2}\left(\frac{25}{2} - 9\right)\left(\frac{25}{2} - 8\right)\left(\frac{25}{2} - 8\right)}\]

Выполняя необходимые вычисления получаем:
\[S = \sqrt{\frac{25}{2}\left(\frac{7}{2}\right)\left(\frac{9}{2}\right)\left(\frac{9}{2}\right)} = \sqrt{441} = 21\].

Таким образом, площадь треугольника pqr, образованного точками p, q и r, равна 21.