Какова площадь треугольника, если внутри заданного треугольника АВС проведена медиана ВD, угол АВС равен 120 градусов

Для решения данной задачи, нам понадобится знание о свойствах треугольников и окружностей.

Перед тем как начать решение, давайте визуализируем данную ситуацию. У нас есть треугольник ABC, внутри которого проведена медиана BD. Также около треугольника ВCD описана окружность радиуса r, и эта окружность касается прямой AC. Давайте обозначим точку касания окружности и прямой как точку E.

Шаг 1: Найдем площадь треугольника ABC.
Так как угол АВС равен 120 градусов, это говорит нам о том, что треугольник ABC является равносторонним. Пусть сторона треугольника равна a.
Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
Обратите внимание, что площадь равностороннего треугольника можно выразить через длину стороны.

Шаг 2: Найдем длину медианы BD.
Медиана в треугольнике делит другую сторону пополам, поэтому BD равно половине стороны AC. Пусть сторона треугольника AC равна b.
Тогда длина медианы BD будет равна $\frac{b}{2}$.

Шаг 3: Найдем площадь треугольника BCD.
Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:
$$S_{BCD}=\sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d)}$$,
где p - полупериметр треугольника BCD, а b, c, d - длины сторон треугольника BCD.
Мы знаем, что BD равно $\frac{b}{2}$, и радиус окружности r касается прямой AC, поэтому AC равно 2r.
Тогда p будет равно:
$$p=\frac{b+c+d}{2}=\frac{\frac{b}{2}+2r+\frac{b}{2}}{2}=r+\frac{b}{2}$$.
Теперь мы можем выразить площадь треугольника BCD через известные значения:
$$S_{BCD}=\sqrt{(r+\frac{b}{2})(r+\frac{b}{2}-b)(r+\frac{b}{2}-r)(r+\frac{b}{2}-r)}$$.

Шаг 4: Найдем площадь треугольника ABE.
Так как точка E является точкой касания окружности и прямой AC, то AE будет равна радиусу окружности r.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника ABE, воспользуемся формулой площади треугольника по трём сторонам:
$$S_{ABE}=\sqrt{p(p-a)(p-AE)(p-BE)}$$,
где p - полупериметр треугольника ABE, a - длина стороны треугольника ABC, AE и BE - длины сторон треугольника ABE, соответственно.
Мы знаем, что AE равно r, и длина медианы BD равна $\frac{b}{2}$, поэтому p будет равно:
$$p=\frac{a+\frac{b}{2}+r}{2}$$.
Теперь мы можем выразить площадь треугольника ABE через известные значения:
$$S_{ABE}=\sqrt{(p)(p-a)(p-r)(p-\frac{b}{2})}$$.

Шаг 5: Вычислить суммарную площадь треугольников.
Для этого просто сложите площади треугольников BCD и ABE:
$$S_{total}=S_{BCD}+S_{ABE}$$.

Теперь у нас есть все необходимые шаги для вычисления площади треугольника. Осталось только подставить известные значения в формулы и выполнить расчеты.