Какова площадь треугольника АВС, где А и В - точки пересечения параболы y = 16x² - 24x - 7 с осью x, а С - точка

Для решения данной задачи, нам необходимо найти точки пересечения параболы с осью x и точку пересечения с осью y. Затем, используя найденные координаты вершин А, В и С, мы сможем найти площадь треугольника АВС.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения параболы с осью x. Чтобы найти эти точки, нужно приравнять значение функции к нулю:

\[y = 16x^2 - 24x - 7 = 0\]

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где a = 16, b = -24 и c = -7. Рассчитаем его:

\[D = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-7)\]

\[D = 576 + 448\]

\[D = 1024\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-24) + \sqrt{1024}}{2 \cdot 16} = \frac{24 + 32}{32} = \frac{56}{32} = \frac{7}{4}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-24) - \sqrt{1024}}{2 \cdot 16} = \frac{24 - 32}{32} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4}\]

Теперь, мы можем найти координаты точек А и В: (A, 0) и (B, 0).

Для точки А:

\[A = \left(\frac{7}{4}, 0\right)\]

Для точки В:

\[B = \left(-\frac{1}{4}, 0\right)\]

Точки А и В у нас есть. Теперь найдем точку C - точку пересечения параболы с осью y. Чтобы найти это, нам нужно приравнять значение x к нулю в уравнении параболы:

\[y = 16x^2 - 24x - 7\]

\[0 = 16x^2 - 24x - 7\]

Давайте решим это уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта снова:

\[D = b^2 - 4ac\]

где a = 16, b = -24 и c = -7. Рассчитаем его:

\[D = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-7)\]

\[D = 1024\]

У нас есть два корня уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-24) + \sqrt{1024}}{2 \cdot 16} = \frac{24 + 32}{32} = \frac{56}{32} = \frac{7}{4}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-24) - \sqrt{1024}}{2 \cdot 16} = \frac{24 - 32}{32} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4}\]

Теперь мы находим y, подставляя найденное значение x в уравнение параболы:

\[y_1 = 16\left(\frac{7}{4}\right)^2 - 24\left(\frac{7}{4}\right) - 7 = 16\left(\frac{49}{16}\right) - 24\left(\frac{7}{4}\right) - 7 = 49 - 42 - 7 = 0\]

\[y_2 = 16\left(-\frac{1}{4}\right)^2 - 24\left(-\frac{1}{4}\right) - 7 = 16\left(\frac{1}{16}\right) + 6 - 7 = 1 + 6 - 7 = 0\]

Таким образом, точка С имеет координаты (0, 0).

У нас есть координаты вершин треугольника АВС: A(7/4, 0), B(-1/4, 0) и C(0, 0).

Теперь, чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем использовать формулу площади треугольника через координаты вершин:

\[S = \frac{1}{2}|(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|\]

Где A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) и C(x_C, y_C) - координаты вершин треугольника.

В нашем случае:

\[S = \frac{1}{2}|(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|\]

\[S = \frac{1}{2}|(7/4(0 - 0) + (-1/4)(0 - 0) + 0(0 - 0))|\]

\[S = \frac{1}{2}|(0)|\]

\[S = 0\]

Итак, площадь треугольника АВС равна 0.

Это объясняет наш ответ с пояснением каждого шага. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!