Какова площадь треугольника АВС, где А и В - точки пересечения параболы y = 16x² - 24x - 7 с осью x, а С - точка

Для решения данной задачи, нам необходимо найти точки пересечения параболы с осью x и точку пересечения с осью y. Затем, используя найденные координаты вершин А, В и С, мы сможем найти площадь треугольника АВС.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения параболы с осью x. Чтобы найти эти точки, нужно приравнять значение функции к нулю:

$$y=16x^2-24x-7=0$$

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта:

$$D=b^2-4ac$$

где a = 16, b = -24 и c = -7. Рассчитаем его:

$$D=(-24{)}^2-4\cdot 16\cdot (-7)$$

$$D=576+448$$

$$D=1024$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня уравнения:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-24)+\sqrt{1024}}{2\cdot 16}=\frac{24+32}{32}=\frac{56}{32}=\frac{7}{4}$$

$$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-24)-\sqrt{1024}}{2\cdot 16}=\frac{24-32}{32}=\frac{-8}{32}=-\frac{1}{4}$$

Теперь, мы можем найти координаты точек А и В: (A, 0) и (B, 0).

Для точки А:

$$A=(\frac{7}{4},0)$$

Для точки В:

$$B=(-\frac{1}{4},0)$$

Точки А и В у нас есть. Теперь найдем точку C - точку пересечения параболы с осью y. Чтобы найти это, нам нужно приравнять значение x к нулю в уравнении параболы:

$$y=16x^2-24x-7$$

$$0=16x^2-24x-7$$

Давайте решим это уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта снова:

$$D=b^2-4ac$$

где a = 16, b = -24 и c = -7. Рассчитаем его:

$$D=(-24{)}^2-4\cdot 16\cdot (-7)$$

$$D=1024$$

У нас есть два корня уравнения:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-24)+\sqrt{1024}}{2\cdot 16}=\frac{24+32}{32}=\frac{56}{32}=\frac{7}{4}$$

$$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-24)-\sqrt{1024}}{2\cdot 16}=\frac{24-32}{32}=\frac{-8}{32}=-\frac{1}{4}$$

Теперь мы находим y, подставляя найденное значение x в уравнение параболы:

$$y_1=16{\left(\frac{7}{4}\right)}^2-24\left(\frac{7}{4}\right)-7=16\left(\frac{49}{16}\right)-24\left(\frac{7}{4}\right)-7=49-42-7=0$$

$$y_2=16{(-\frac{1}{4})}^2-24(-\frac{1}{4})-7=16\left(\frac{1}{16}\right)+6-7=1+6-7=0$$

Таким образом, точка С имеет координаты (0, 0).

У нас есть координаты вершин треугольника АВС: A(7/4, 0), B(-1/4, 0) и C(0, 0).

Теперь, чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем использовать формулу площади треугольника через координаты вершин:

$$S=\frac{1}{2}|(x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B))|$$

Где A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) и C(x_C, y_C) - координаты вершин треугольника.

В нашем случае:

$$S=\frac{1}{2}|(x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B))|$$

$$S=\frac{1}{2}|(7/4(0-0)+(-1/4)(0-0)+0(0-0))|$$

$$S=\frac{1}{2}|(0)|$$

$$S=0$$

Итак, площадь треугольника АВС равна 0.

Это объясняет наш ответ с пояснением каждого шага. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!