Какова площадь треугольника apd, если сторона ab параллелограмма abcd была разделена точкой p таким образом

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать формулу для площади треугольника и использовать свойства параллелограмма. Давайте начнем!

1. Запишем известные данные. У нас есть параллелограмм ABCD, и мы знаем, что площадь этого параллелограмма равна $S_{ABCD}$.
2. Дано, что сторона AB параллелограмма ABCD разделена точкой P таким образом, что отношение AP:BP составляет 5:3. Обозначим отношение AP как 5x и отношение BP как 3x.
3. Так как сторона AB параллелелограмма ABCD является основанием треугольника APD, высота треугольника будет проведена от вершины D перпендикулярно стороне AB.
4. Обозначим высоту треугольника APD как h.
5. Площадь треугольника APD можно найти с помощью формулы: $S_{APD}=\frac{1}{2}\times \text{основание}\times \text{высота}$.
6. В нашем случае, основание треугольника APD равно AB, а высота равна h.
7. Заметим, что треугольник ABP и треугольник APD имеют общую высоту h.
8. Таким образом, отношение площадей треугольников ABP и APD будет равно отношению длин оснований AB и AP: $\frac{S_{ABP}}{S_{APD}}=\frac{AB}{AP}$.
9. В нашем случае, отношение оснований AB и AP равно отношению 3x к 5x, то есть $\frac{AB}{AP}=\frac{3x}{5x}$.
10. Следовательно, $\frac{S_{ABP}}{S_{APD}}=\frac{3x}{5x}$.
11. Мы знаем, что площадь параллелограмма ABCD равна $S_{ABCD}$, поэтому площадь треугольника ABP, который составляет половину площади параллелограмма, равна $\frac{1}{2}\times S_{ABCD}$.
12. Таким образом, отношение площади треугольника ABP к площади треугольника APD равно $\frac{\frac{1}{2}\times S_{ABCD}}{S_{APD}}=\frac{3x}{5x}$.
13. Решим эту пропорцию, чтобы найти значение x: $\frac{3x}{5x}=\frac{\frac{1}{2}\times S_{ABCD}}{S_{APD}}$.
14. Упростим $\frac{3x}{5x}$ как $\frac{3}{5}$ и получим $\frac{3}{5}=\frac{\frac{1}{2}\times S_{ABCD}}{S_{APD}}$.
15. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на $S_{APD}$: $\frac{3}{5}\times S_{APD}=\frac{1}{2}\times S_{ABCD}$.
16. Теперь, чтобы найти площадь треугольника APD, мы можем использовать формулу, подставив известные значения: $$S_{APD}=\frac{\frac{3}{5}\times S_{ABCD}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{5}\times 2\times S_{ABCD}=\frac{6}{5}\times S_{ABCD}.$$

Итак, площадь треугольника APD равна $\frac{6}{5}$ умножить на площадь параллелограмма ABCD.