Какова площадь треугольника ABK при следующих углах между плоскостями треугольников ABK и ABC: а) 30°, б) 45°

Хорошо, рассмотрим каждый случай по отдельности.

а) Угол между плоскостью треугольников ABK и ABC составляет 30°. Для нахождения площади треугольника ABK, нам понадобятся высота треугольника и длина основания.

Давайте обозначим высоту треугольника как h и длину основания как b. Также известно, что площадь треугольника ABC равна 18 см^2.

Для начала, найдем высоту треугольника ABK. У нас есть прямой треугольник ABC, поэтому высота треугольника ABK будет проекцией высоты треугольника ABC на плоскость ABK.

Так как угол между плоскостями треугольников ABK и ABC равен 30°, то следует использовать тригонометрические соотношения. Мы можем использовать тангенс угла 30°:

\[\tan(30°) = \frac{h}{b}\]

Теперь найдем h:

\[h = b \cdot \tan(30°)\]

Теперь, когда мы знаем значени высоты h, мы можем найти площадь треугольника ABK:

\[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\]

Подставим значение h:

\[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (b \cdot \tan(30°))\]

Мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 18 см^2, поэтому получаем:

\[18 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (b \cdot \tan(30°))\]

Теперь это квадратное уравнение относительно b. Найдем его корни с помощью квадратного корня:

\[b^2 \cdot \tan(30°) = 2 \cdot 18\]
\[b^2 = \frac{2 \cdot 18}{\tan(30°)}\]
\[b^2 = \frac{36}{\sqrt{3}}\]
\[b = \sqrt{\frac{36}{\sqrt{3}}}\]
\[b = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]
\[b = 6\]

Таким образом, длина основания треугольника ABK равна 6 см.

Теперь, используя найденное значение b, мы можем найти площадь треугольника ABK:

\[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (6 \cdot \tan(30°))\]
\[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]
\[S_{ABK} = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]
\[S_{ABK} = 6\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь треугольника ABK при угле 30° равна \(6\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

б) Угол между плоскостью треугольников ABK и ABC равен 45°.

Повторим процесс, описанный выше, чтобы найти площадь треугольника ABK.

Найдем длину основания, b:

\[b^2 \cdot \tan(45°) = 2 \cdot 18\]
\[b^2 \cdot 1 = 36\]
\[b^2 = 36\]
\[b = 6\]

Таким образом, длина основания треугольника ABK равна 6 см.

Теперь найдем площадь треугольника ABK:

\[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (6 \cdot \tan(45°))\]
\[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 1\]
\[S_{ABK} = 18\]

Таким образом, площадь треугольника ABK при угле 45° равна 18 квадратных сантиметров.

в) Угол между плоскостью треугольников ABK и ABC равен 60°.

Повторим процесс, описанный ранее, чтобы найти площадь треугольника ABK.

Найдем длину основания, b:

\[b^2 \cdot \tan(60°) = 2 \cdot 18\]
\[b^2 \cdot \sqrt{3} = 36\]
\[b^2 = \frac{36}{\sqrt{3}}\]
\[b = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]
\[b = 6\]

Таким образом, длина основания треугольника ABK равна 6 см.

Теперь найдем площадь треугольника ABK:

\[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (6 \cdot \tan(60°))\]
\[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sqrt{3}\]
\[S_{ABK} = 18 \cdot \sqrt{3}\]

Таким образом, площадь треугольника ABK при угле 60° равна \(18 \sqrt{3}\) квадратных сантиметров.