Каково уравнение сферы с центром в точке О (0; 2; ̶ 1) и проходящей через точку K ( ̶ 1; ̶ 1; 0)? Изобразите сферу

Чтобы найти уравнение сферы с заданными условиями, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула расстояния между двуми точками в трехмерном пространстве:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где P1 (x1, y1, z1) и P2 (x2, y2, z2) - координаты двух точек, а d - расстояние между ними.

В данной задаче у нас есть центр сферы, координаты которого равны О (0, 2, -1), и точка K, координаты которой равны K (-1, -1, 0). Мы можем найти радиус сферы, используя формулу расстояния между центром сферы и точкой на сфере:

\[r = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-1 - 2)^2 + (0 - (-1))^2}\]

\[r = \sqrt{1 + 9 + 1}\]

\[r = \sqrt{11}\]

Теперь у нас есть координаты центра сферы и радиус. Мы можем записать уравнение сферы в виде:

\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2\]

где (x, y, z) - любая точка на сфере, (x0, y0, z0) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

Подставляя значения центра сферы и радиуса в уравнение, получаем:

\[(x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z - (-1))^2 = (\sqrt{11})^2\]

\[x^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 11\]

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке О (0, 2, -1) и проходящей через точку K (-1, -1, 0) имеет вид:

\[x^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 11\]

Чтобы изобразить сферу на рисунке, можно использовать трехмерное пространство. Нарисуем оси координат X, Y и Z, а затем построим точку с координатами центра сферы и сферу с радиусом, проходящую через точку.

*[Здесь нужно было нарисовать такую сферу, но сделать это здесь невозможно.]*

На рисунке сфера будет выглядеть как окружность, центр которой находится в точке (0, 2, -1), с радиусом \(\sqrt{11}\).