Какова площадь трапеции, если высота проведена из вершины угла величиной 150° и отсекает квадрат площадью 36 см²?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства площади трапеции и свойства квадрата.

Дано, что высота трапеции проведена из вершины угла величиной 150° и отсекает квадрат площадью 36 см². Мы не знаем размеры сторон этого квадрата.

Предположим, что сторона квадрата равна \(x\) см. Тогда, площадь квадрата равна стороне в квадрате: \(x^2 = 36\) (по определению площади квадрата).

Теперь выберем любую точку на большей боковой стороне трапеции и обозначим её как \(A\). Проведём высоту из этой точки до основания трапеции и обозначим её как \(h\) см.

Так как угол между большей основой и высотой составляет 150°, то создаётся прямоугольный треугольник \(AOB\), где \(O\) - середина между основаниями, \(A\) - точка пересечения высоты и большей основы, \(B\) - середина большей основы. Также, угол \(BOA\) равен 75°, так как внешний угол треугольника равен сумме его несмежных углов.

Так как треугольник равнобедренный, \(AOB\) также имеет два угла по 75°. А это значит, что треугольник равнобедренный и углы при основании \(AO\) равны.

Теперь мы можем применить формулу для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - длина основания, \(h\) - высота.

Так как треугольник равнобедренный и углы при основании \(AO\) равны, мы можем записать площадь треугольника как \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot x\), где \(a\) - большая основа трапеции.

Теперь нам нужно найти \(a\). Мы знаем, что площадь квадрата равна 36 см², то есть \(x^2 = 36\). Решим это уравнение и найдём значение \(x\).

\[x^2 = 36\]
\[x = \sqrt{36}\]
\[x = 6\]

Теперь, когда мы нашли значение \(x\), мы можем вычислить площадь треугольника, подставив \(x = 6\) и \(h = 6\) в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 6\]
\[36 = 3a\]
\[a = 12\]

Таким образом, площадь трапеции равна 36 см², а длина большей боковой стороны равна 12 см.