Даны координаты точек A(2; -1) и B(0; 7). а) Найдите расстояние между точками A и B. б) Запишите уравнение прямой

Хорошо, я помогу вам решить задачу по геометрии с использованием простого алгебраического подхода.

а) Для нахождения расстояния между точками A и B мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где A(x1, y1) и B(x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставляя значения координат точек A(2, -1) и B(0, 7) в формулу, получаем:

\[d = \sqrt{{(0 - 2)^2 + (7 - (-1))^2}}\]

\[d = \sqrt{{(-2)^2 + (7 + 1)^2}}\]

\[d = \sqrt{{4 + 64}}\]

\[d = \sqrt{{68}}\]

\[d \approx 8.25\]

Таким образом, расстояние между точками A и B примерно равно 8.25 единицам длины.

б) Чтобы найти уравнение прямой AB, нам нужно использовать формулу наклона прямой:

\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

где k - наклон прямой, и A(x1, y1) и B(x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставляя значения координат точек A(2, -1) и B(0, 7) в формулу, получаем:

\[k = \frac{{7 - (-1)}}{{0 - 2}}\]

\[k = \frac{{8}}{{-2}}\]

\[k = -4\]

Теперь, чтобы найти уравнение прямой AB, нам нужно использовать одно из уравнений прямых, таких как \(y = kx + b\), где k - наклон прямой, а b - y-перехват.

Мы уже знаем наклон прямой k = -4, поэтому остается найти y-перехват. Мы можем использовать любую точку прямой, например, A(2, -1). Подставляя значения координат в уравнение, мы можем решить его:

\[-1 = -4 \cdot 2 + b\]

\[-1 = -8 + b\]

\[b = -1 + 8\]

\[b = 7\]

Теперь мы можем составить уравнение прямой AB:

\[y = -4x + 7\]

в) Для составления уравнения прямой, проходящей через середину AB и параллельной прямой \(y = 2x + 5\), мы можем использовать следующий подход. Поскольку прямые параллельны, их наклоны должны быть равными.

У прямой \(y = 2x + 5\) наклон равен 2. Значит, наклон нашей новой прямой должен быть таким же.

Также, поскольку новая прямая проходит через середину AB, мы знаем ее координаты. Середина AB может быть найдена, взяв среднее значение x и y координат точек A и B:

\[x_m = \frac{{x_A + x_B}}{2}\]
\[y_m = \frac{{y_A + y_B}}{2}\]

Подставляя значения координат точек A(2, -1) и B(0, 7), мы получаем:

\[x_m = \frac{{2 + 0}}{2} = 1\]
\[y_m = \frac{{-1 + 7}}{2} = 3\]

Таким образом, середина AB имеет координаты (1, 3).

Мы знаем, что новая прямая проходит через середину AB и имеет наклон 2. Теперь мы можем составить ее уравнение, используя уравнение прямой \(y = mx + b\), где m - наклон прямой, а b - y-перехват.

\[y = 2x + b\]

Нам остается найти значение y-перехвата b. Мы можем использовать точку с координатами (1, 3), подставив их в уравнение, чтобы решить его:

\[3 = 2 \cdot 1 + b\]
\[3 = 2 + b\]
\[b = 3 - 2\]
\[b = 1\]

Теперь мы можем записать уравнение новой прямой:

\[y = 2x + 1\]

Вот и все! Мы нашли расстояние между точками A и B, уравнение прямой AB и уравнение прямой, проходящей через середину AB и параллельной прямой \(y = 2x + 5\). Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!