Какова площадь трапеции abcd, если bc=1, ab=2√3, угол bad=30° и угол cda=45°?

Чтобы найти площадь трапеции abcd, мы можем использовать формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \times h \]

где \( a \) и \( b \) - длины оснований трапеции, а \( h \) - высота трапеции.

Начнем с нахождения длин оснований.

По условию, \( bc = 1 \) и \( ab = 2\sqrt{3} \).

Теперь давайте найдем высоту трапеции.

Мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника, смежных стороной \( dc \). Один из этих треугольников имеет угол \( cda = 45° \), а другой треугольник имеет угол \( bad = 30° \). Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту, которая является общей стороной этих треугольников.

В треугольнике со значением \( cda = 45° \) противолежащий \( h \)-ся длине \( dc \), поэтому высота равна \( h = dc \).

В треугольнике со значением \( bad = 30° \) противолежащий \( h \)-ся длине \( hc \), поэтому również высота равна \( h = hc \).

Теперь, чтобы найти значения этих высот, мы можем использовать тригонометрические соотношения.

В треугольнике со значением \( cda = 45° \) мы можем использовать тангенс:

\[ \tan(45°) = \frac{h}{dc} \]
\[ 1 = \frac{h}{dc} \]
\[ h = dc \]

В треугольнике со значением \( bad = 30° \) мы можем использовать тангенс:

\[ \tan(30°) = \frac{h}{hc} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{hc} \]
\[ h = \frac{hc}{\sqrt{3}} \]

Мы выразили \( h \) в терминах \( dc \) и \( hc \), теперь мы можем установить эти два выражения равными друг другу и решить уравнение:

\[ dc = \frac{hc}{\sqrt{3}} \]
\[ \sqrt{3} \cdot dc = hc \]

Теперь мы знаем, что \( h = dc = hc/\sqrt{3} \), поэтому мы можем подставить это значение в формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \times h \]
\[ S = \frac{2\sqrt{3} + 1}{2} \times \frac{hc}{\sqrt{3}} \]
\[ S = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \times hc \]

Таким образом, площадь трапеции abcd равна \( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \) умножить на значение \( hc \), которое мы ранее вычислили равным \( \sqrt{3} \) умножить на \( dc \).

Давайте вычислим значение \( dc \):

В треугольнике со значением \( cda = 45° \) по теореме Пифагора мы можем выразить \( dc \) через стороны треугольника:

\[ dc^2 = (cd)^2 + (hc)^2 \]
\[ dc^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 \]
\[ dc^2 = 1 + 3 \]
\[ dc^2 = 4 \]
\[ dc = 2 \]

Теперь мы можем подставить значения \( hc = \sqrt{3} \) и \( dc = 2 \) в нашу формулу для площади:

\[ S = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \times hc \]
\[ S = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \times \sqrt{3} \times 2 \]
\[ S = (\sqrt{3} + 1) \times \sqrt{3} \]

Итак, площадь трапеции abcd равна \( (\sqrt{3} + 1) \times \sqrt{3} \). Это окончательный ответ.