Какова площадь той части квадрата, которая остается за пределами окружности, вписанной в правильный треугольник

Для того чтобы решить данную задачу, мы должны разбить ее на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем сторону вписанного в треугольник квадрата.
Для этого воспользуемся формулой для нахождения радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник:
\(r = \frac{{a}}{{2\sqrt{3}}}\),
где \(r\) - радиус, а \(a\) - сторона квадрата.

Заметим, что периметр треугольника равен 9 корень из 6, а треугольник равносторонний. Значит, каждая сторона треугольника равна \(\frac{{9\sqrt{6}}}{{3}} = 3\sqrt{6}\).

Подставим это значение в формулу для нахождения радиуса:
\(3\sqrt{6} = \frac{{a}}{{2\sqrt{3}}}\).

Перемножим обе стороны уравнения на \(\sqrt{3}\) и решим его относительно \(a\):
\(3\sqrt{18} = a\),
\(a = 3\sqrt{2}\).

Таким образом, сторона вписанного квадрата равна \(3\sqrt{2}\) см.

Шаг 2: Найдем площадь вписанного квадрата.
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Таким образом, площадь вписанного квадрата равна \((3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\) кв. см.

Шаг 3: Найдем сторону около которой описан квадрат.
Сторона около которой описан квадрат равна радиусу окружности, описанной вокруг треугольника.
Используем формулу для нахождения радиуса описанной окружности в равностороннем треугольнике:
\(R = \frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\),
где \(R\) - радиус, а \(a\) - сторона квадрата.

Подставим значение стороны квадрата, которое мы уже нашли ранее:
\(R = \frac{{3\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}\).

Упростим это выражение, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):
\(R = \frac{{3\sqrt{6}}}{{3}} = \sqrt{6}\) см.

Таким образом, сторона около которой описан квадрат равна \(\sqrt{6}\) см.

Шаг 4: Найдем площадь описанного квадрата.
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Таким образом, площадь описанного квадрата равна \((\sqrt{6})^2 = 6\) кв. см.

Шаг 5: Найдем площадь той части квадрата, которая остается за пределами окружности, вписанной в треугольник.
Эта площадь равна разности площадей описанного квадрата и вписанного квадрата:
\(6 - 18 = -12\) кв. см.

Таким образом, площадь той части квадрата, которая остается за пределами окружности, вписанной в треугольник, равна -12 кв. см.