Какова площадь шестиугольника, образованного серединами сторон и двумя противоположными вершинами данного

Чтобы решить эту задачу, мы можем представить шестиугольник, образованный серединами сторон и двумя противоположными вершинами прямоугольника. Очень полезно нарисовать диаграмму, чтобы наглядно представить себе ситуацию.

Давайте представим, что наш прямоугольник имеет стороны \(ABCD\), а его середины сторон обозначены буквами \(E, F, G\) и \(H\). Таким образом, шестиугольник, образованный этими точками, будет выглядеть так:

\[
\begin{align*}
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G\\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /\ \ \ \ \ \ \ /\ \ \ \ \\
&\ \ \ \ \ \ \ \ /\ \ \ \ \ \ / \ \ \ \ \ \ \ / \ \ \ \ \ \ \ \ /\ \ \ \ \\
&\ \ \ \ \ \ /\ \ \ \ \ / \ \ \ \ \ \ / \ \ \ \ \ \ \ \ \ / \ \ \ \ \ \ /\ \ \\
A&\ \ \ /\ \ \ \ \ / \ \ \ \ \ \ \ \ / \ \ \ \ \ \ \ \ / \ \ \ \ \ \ \ \ \ /\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B\\
&\ \ \ \/ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \/\\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C\\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \/\\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ H
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы найти площадь шестиугольника, мы можем разбить его на две треугольные части. Первая часть - это треугольник, образованный вершинами \(A\), \(C\) и \(E\), а вторая часть - треугольник, образованный вершинами \(B\), \(D\) и \(G\). Мы можем найти площади этих треугольников и сложить их, чтобы получить площадь шестиугольника.

Для треугольника \(ACE\) мы знаем, что его сторона \(AC\) - это половина стороны прямоугольника, то есть \(AC = \frac{1}{2} \times AB\). Площадь треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \times \text{сторона}_1 \times \text{сторона}_2\) (где \(S\) обозначает площадь). Таким образом, площадь треугольника \(ACE\) будет равна:

\[
S_{ACE} = \frac{1}{2} \times AC \times CE = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times AB \times \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{8} \times AB^2
\]

Аналогично, для треугольника \(BDG\) мы можем получить:

\[
S_{BDG} = \frac{1}{2} \times BD \times GD = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times AB \times \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{8} \times AB^2
\]

Итак, чтобы найти площадь шестиугольника, нам нужно просто сложить площади треугольников \(ACE\) и \(BDG\):

\[
S_{\text{шестиугольника}} = S_{ACE} + S_{BDG} = \frac{1}{8} \times AB^2 + \frac{1}{8} \times AB^2 = \frac{1}{8} \times 2 \times AB^2 = \frac{1}{4} \times AB^2
\]

Так как площадь прямоугольника составляет 48 квадратных сантиметров, мы можем записать уравнение:

\[
\frac{1}{4} \times AB^2 = 48
\]

Чтобы найти значение \(AB\), мы можем умножить обе части уравнения на 4 и извлечь квадратный корень:

\[
AB^2 = 48 \times 4 = 192
\]

\[
AB = \sqrt{192}
\]

Теперь мы можем найти площадь шестиугольника, заменив \(AB\) в уравнении:

\[
S_{\text{шестиугольника}} = \frac{1}{4} \times (\sqrt{192})^2 = \frac{1}{4} \times 192 = 48
\]

Таким образом, площадь шестиугольника составляет 48 квадратных сантиметров, что исходно было дано в условии задачи.