Чему равен косинус острого угла в равнобедренной трапеции, у которой основания равны 5 и 9, и какова длина боковой

Для начала, давайте разберемся с определением острого угла в равнобедренной трапеции. Острый угол в трапеции - это угол, образованный одним из оснований и его боковой стороной. В нашем случае, основания трапеции равны 5 и 9.

Чтобы найти косинус острого угла, нам нужно знать значение длины боковой стороны трапеции. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения этой длины.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза - это боковая сторона трапеции, а катеты - это половины оснований.

По определению равнобедренной трапеции, боковая сторона трапеции равна среднему арифметическому двух оснований. То есть, боковая сторона равна \((5 + 9) / 2 = 7\).

Теперь мы можем применить теорему Пифагора. Положим, что половина одного из оснований равна \(a\) (в нашем случае это 5) и половина другого основания равна \(b\) (в нашем случае это 9). Тогда длина боковой стороны (гипотенузы) равна \(c\).

Используя теорему Пифагора, получаем следующее уравнение:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Подставив значения \(a = 5\), \(b = 9\), получаем:

\[5^2 + 9^2 = c^2\]

\[25 + 81 = c^2\]

\[106 = c^2\]

Чтобы найти длину боковой стороны, нам нужно извлечь квадратный корень из обоих частей уравнения:

\[c = \sqrt{106}\]

Таким образом, длина боковой стороны трапеции равна \(\sqrt{106}\).

Чтобы найти косинус острого угла в трапеции, мы можем использовать длины сторон трапеции и известные свойства тригонометрии. Отношение катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике соответствует косинусу угла. В нашем случае, боковая сторона трапеции является гипотенузой, а одно из оснований - катетом.

Таким образом, косинус острого угла в равнобедренной трапеции равен отношению половины одного из оснований к длине боковой стороны.

\[ \cos(\text{угол}) = \frac{a}{c} \]

Подставляя значения \(a = 5\) и \(c = \sqrt{106}\), получаем:

\[ \cos(\text{угол}) = \frac{5}{\sqrt{106}} \]

Таким образом, косинус острого угла в равнобедренной трапеции равен \(\frac{5}{\sqrt{106}}\).