Какова площадь сферы с центром в точке, если на ней лежат вершины прямоугольного треугольника, где длина гипотенузы

Хорошо, чтобы найти площадь сферы с центром в точке, на которой лежат вершины прямоугольного треугольника, нам понадобится знать радиус этой сферы. Давайте посмотрим на задачу более подробно и поймем, как найти радиус сферы.

У нас есть прямоугольный треугольник, у которого длина гипотенузы равна 6 и расстояние от центра до плоскости треугольника равно \(d\). Пусть \(R\) будет радиусом сферы.

Мы можем использовать Теорему Пифагора, чтобы найти длины катетов треугольника. По формуле Пифагора:
\[гипотенуза^2 = катет_1^2 + катет_2^2\](Формула Пифагора)

В нашем случае, длина гипотенузы равна 6, так что мы можем записать:
\[6^2 = катет_1^2 + катет_2^2\]

Давайте обозначим катеты как \(a\) и \(b\). Таким образом, у нас есть:
\[6^2 = a^2 + b^2\]

Теперь давайте рассмотрим радиус \(R\) и его связь с катетами. Мы знаем, что радиус сферы будет отрезком, соединяющим центр сферы с одной из вершин треугольника. Поскольку расстояние от центра до плоскости треугольника равно \(d\), то мы можем записать:
\[R = \sqrt{a^2 + d^2}\](1)
или
\[R = \sqrt{b^2 + d^2}\](2)
Так как \(R\) — это радиус одной и той же сферы, мы можем приравнять выражения (1) и (2):
\[\sqrt{a^2 + d^2} = \sqrt{b^2 + d^2}\]

Мы можем избавиться от квадратных корней в этом уравнении, возводя обе части в квадрат:
\[a^2 + d^2 = b^2 + d^2\]

Теперь мы видим, что \(a^2\) и \(b^2\) сокращаются, и у нас остается:
\[a^2 = b^2\]

Другими словами, катеты треугольника равны по длине. Поскольку это прямоугольный треугольник, мы знаем, что катеты пропорциональны с его сторонами. Значит, оба катета равны \(\frac{6}{\sqrt{2}}\), так как гипотенуза равна 6 и катеты равны между собой.

Теперь, когда у нас есть радиус сферы, который равен \(\frac{6}{\sqrt{2}}\), мы можем найти площадь сферы, используя формулу:
\[S = 4\pi R^2\](Формула площади сферы)

Подставив значение радиуса \(R\), получим:
\[S = 4\pi \left(\frac{6}{\sqrt{2}}\right)^2\]

Упростим это выражение:
\[S = 4\pi \cdot \frac{36}{2}\]

\[S = 2 \cdot 4\pi \cdot 18\]

Теперь давайте умножим и просто упростим это выражение:
\[S = 8\pi \cdot 18\]

\[S = 144\pi\]

Итак, площадь сферы с центром в данной точке, на которой лежат вершины прямоугольного треугольника, составляет \(144\pi\) единицы площади.