Какова площадь сферы, описанной вокруг правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна

Чтобы найти площадь сферы, описанной вокруг правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна \(4\sqrt{2}\), и угол между ребром и основанием составляет 60°, мы можем воспользоваться следующими шагами.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды. Мы знаем, что основание пирамиды является квадратом, и его сторона равна \(4\sqrt{2}\). Поскольку это правильная пирамида, мы можем разделить квадрат на 4 равных треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников. Он является прямоугольным треугольником, у которого гипотенуза равна стороне квадрата, то есть \(4\sqrt{2}\), а один из углов составляет 60°. Так как это правильная пирамида, углы основания равны 90°. Обозначим высоту пирамиды как \(h\). Тогда мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти \(h\).

\[
\sin(60^\circ) = \frac{h}{4\sqrt{2}}
\]

\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4\sqrt{2}}
\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{4\sqrt{2}}{2}\):

\[
\sqrt{3} \cdot 2 = h
\]

\[
h = 2\sqrt{3}
\]

Таким образом, высота пирамиды равна \(2\sqrt{3}\).

Шаг 2: Найдем радиус сферы. Радиус сферы, описанной вокруг правильной четырехугольной пирамиды, равен радиусу описанной окружности основания пирамиды. Обозначим радиус сферы как \(R\). Тогда мы можем использовать теорему синусов для треугольника, образованного половиной стороны основания пирамиды, радиусом сферы и ребром пирамиды:

\[
\frac{R}{\sin(60^\circ)} = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{2}}{\sin(90^\circ)}
\]

Упрощаем выражение:

\[
\frac{R}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2}
\]

Умножаем обе части уравнения на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

\[
R = \frac{4\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}}
\]

\[
R = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
\]

\[
R = \frac{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}
\]

\[
R = \frac{8\sqrt{6}}{3}
\]

Таким образом, радиус сферы равен \(\frac{8\sqrt{6}}{3}\).

Шаг 3: Найдем площадь сферы. Площадь сферы можно найти с помощью формулы \(S = 4\pi R^2\), где \(S\) - площадь сферы, а \(R\) - радиус сферы.

\[
S = 4\pi \left(\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)^2
\]

Упрощаем выражение:

\[
S = 4\pi \cdot \frac{64 \cdot 6}{9}
\]

\[
S = \frac{256\pi}{9} \cdot 6
\]

\[
S = \frac{1536\pi}{9}
\]

Таким образом, площадь сферы, описанной вокруг данной пирамиды, равна \(\frac{1536\pi}{9}\). Это является окончательным ответом.

Я надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять, как найти площадь сферы, описанной вокруг правильной четырехугольной пирамиды с заданными параметрами. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам!