Какова площадь сферы, на которой лежат вершины правильного треугольника, если сторона треугольника равна 5

Для решения этой задачи, нам необходимо разобраться в некоторых понятиях. Давайте начнем с простого:

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны и все углы равны. Вершины правильного треугольника лежат на окружности, описанной вокруг треугольника. Такая окружность называется окружностью описанной.

Чтобы найти площадь сферы, на которой лежат вершины правильного треугольника, мы должны знать радиус этой сферы. Радиус сферы будет равен расстоянию от центра сферы до любой из ее вершин.

Имея сторону треугольника, мы можем найти радиус сферы, используя формулу:

\[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

Где \(r\) - радиус сферы, \(a\) - сторона правильного треугольника.

В нашем случае, сторона треугольника равна 5 см. Подставляя данное значение в формулу, мы найдем радиус сферы.

\[r = \frac{5}{2\sqrt{3}}\]

А теперь, чтобы найти площадь сферы, мы можем использовать следующую формулу:

\[S = 4\pi r^2\]

Где \(S\) - площадь сферы, \(r\) - радиус сферы.

Подставляя наше значение радиуса в эту формулу, мы найдем искомую площадь сферы.

\[S = 4\pi \left(\frac{5}{2\sqrt{3}}\right)^2\]

А теперь давайте посчитаем результат используя наш калькулятор:

\[S \approx 32.325 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь сферы, на которой лежат вершины правильного треугольника со стороной 5 см, составляет приблизительно 32.325 квадратных сантиметра.