Какова площадь серого восьмиугольника, если на рисунке изображены пять одинаковых квадратов, каждый со стороной равной

Чтобы определить площадь серого восьмиугольника, нам необходимо найти его боковую сторону. Давайте разложим задачу на несколько шагов.

1. Найдем длину диагонали квадрата. У нас есть сторона квадрата равная 16 см. Используем теорему Пифагора для нахождения диагонали:

\[
\text{диагональ}^2 = \text{сторона}^2 + \text{сторона}^2 \\
\text{диагональ}^2 = 16^2 + 16^2
\]

Продолжая вычисления, получаем:

\[
\text{диагональ}^2 = 256 + 256 \\
\text{диагональ}^2 = 512
\]

Извлекая квадратный корень, получаем значение диагонали:

\[
\text{диагональ} = \sqrt{512} \approx 22.63 \text{ см}
\]

2. Теперь определим длину стороны восьмиугольника. Учитывая, что вершины восьмиугольника находятся в серединах сторон квадратов, сторона восьмиугольника равна длине диагонали квадрата:

\[
\text{сторона восьмиугольника} = \text{диагональ} = 22.63 \text{ см}
\]

3. Найдем площадь восьмиугольника. Восьмиугольник можно разбить на 8 равных равнобедренных треугольников с углом при вершине равным 45 градусам. Зная сторону восьмиугольника, мы можем вычислить площадь одного треугольника, а затем умножить его на 8, чтобы получить площадь всего восьмиугольника.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти с использованием формулы:

\[
\text{площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
\]

Так как у нас треугольник равнобедренный, его основание равно стороне восьмиугольника, а высоту можно найти с использованием теоремы Пифагора:

\[
\text{высота}^2 = \text{сторона}^2 - \left(\frac{\text{основание}}{2}\right)^2
\]

Продолжая вычисления, получаем:

\[
\text{высота}^2 = 22.63^2 - \left(\frac{22.63}{2}\right)^2
\]

\[
\text{высота}^2 = 512 - \left(\frac{22.63}{2}\right)^2
\]

\[
\text{высота}^2 = 512 - 256
\]

\[
\text{высота}^2 = 256
\]

Извлекая квадратный корень, получаем значение высоты:

\[
\text{высота} = \sqrt{256} = 16 \text{ см}
\]

Теперь, используя формулу для площади равнобедренного треугольника, найдем его площадь:

\[
\text{площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
\]

\[
\text{площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times 22.63 \text{ см} \times 16 \text{ см}
\]

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[
\text{площадь треугольника} \approx 181.04 \text{ см}^2
\]

Таким образом, площадь серого восьмиугольника равна площади одного треугольника, умноженной на 8:

\[
\text{площадь восьмиугольника} = 8 \times \text{площадь треугольника}
\]

\[
\text{площадь восьмиугольника} = 8 \times 181.04 \text{ см}^2
\]

Выполняя окончательные вычисления, получаем:

\[
\text{площадь восьмиугольника} \approx 1448.32 \text{ см}^2
\]

Таким образом, площадь серого восьмиугольника составляет приблизительно 1448.32 см².