Какова площадь сечения плоскостью, проходящей через вершину d и середины ребер aa1, у единичного куба?

Для решения данной задачи нам необходимо определить площадь сечения плоскостью, проходящей через вершину \( d \) и середины ребер \( aa_1 \) единичного куба.

Изначально, давайте визуализируем данную ситуацию. Представим куб и отметим вершину \( d \) и середины ребер \( aa_1 \).

(вставить изображение куба с отмеченными вершиной и серединами ребер)

Теперь давайте определим положение плоскости, проходящей через указанные элементы. Пусть плоскость пересекает ребро \( aa_1 \) в точке \( M \), седину основания \( ABCD \) куба в точке \( N \) и вершину \( d \) в точке \( P \).

Так как середина ребра \( aa_1 \) является точкой, делящей его на две равные части, то \( AM = MA_1 \).

Поскольку ребро \( AB \) куба равно 1, то расстояние от вершины \( A \) до середины ребра \( aa_1 \) равно \(\frac{1}{2}\).

Таким образом, \( AM = \frac{1}{2} \).

Также обратите внимание, что треугольник \( APN \) является прямоугольным треугольником и \( AN = \frac{1}{2} \).

Теперь мы можем приступить к определению площади сечения плоскостью.

Площадь сечения плоскостью равна произведению длины отрезка \( AM \) на ширину отрезка \( NP \) (отрезок \( NP \) перпендикулярен отрезку \( AM \)).

Таким образом, площадь сечения плоскостью равна \( S = AM \cdot NP \).

Учитывая, что длина отрезка \( AM \) равна \(\frac{1}{2}\), и ширина отрезка \( NP \) равна \(\frac{1}{2}\), мы можем вычислить площадь сечения плоскостью:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, площадь сечения плоскостью, проходящей через вершину \( d \) и середины ребер \( aa_1 \) единичного куба, равна \(\frac{1}{4}\).