Какова площадь сечения пирамиды ABCS плоскостью, проходящей через сторону основания AB и точку F, в правильной

Для решения задачи, нам необходимо вычислить площадь сечения пирамиды ABCS плоскостью, проходящей через сторону основания AB и точку F. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды ABCS.
В данной задаче, пирамида ABCS является правильной треугольной пирамидой, что означает, что у нее все боковые ребра равны.
Также известно, что сторона основания AB равна 6. Поскольку угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен arccos 3, мы можем вычислить длину бокового ребра с помощью косинуса этого угла.
Истинное значение косинуса arccos 3 можно рассчитать по теореме Пифагора. Пусть гипотенуза равна 6 (длина стороны основания AB), и пусть катеты равны x и y (где x - это расстояние от вершины пирамиды до проекции точки F на плоскость основания, а y - это сама длина бокового ребра). Тогда у нас есть следующее уравнение:

\[x^2 + y^2 = 6^2\]
\[y = \sqrt{6^2 - x^2}\]

Используя отношение FS:OF, равное 3:1, мы можем записать:

\[x = \frac{1}{4} \cdot 6 = \frac{3}{2}\]
\[y = \sqrt{6^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{3\sqrt{15}}{2}\]

Таким образом, высота пирамиды ABCS равна \(y = \frac{3\sqrt{15}}{2}\).

Шаг 2: Найдем длину отрезка FS.
Исходя из отношения FS:OF, равного 3:1, мы можем записать:

\[FS = \frac{3}{3+1} \cdot AB = \frac{3}{4} \cdot 6 = \frac{9}{2}\]

Шаг 3: Найдем площадь треугольника ABF.
Поскольку у нас уже есть длины сторон AB и AF, мы можем использовать половину произведения этих сторон и синус угла между ними для нахождения площади треугольника ABF.
Угол между AB и AF - это прямой угол, так как точка F лежит на стороне AB.
Таким образом, площадь треугольника ABF равна:

\[S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AF \cdot \sin 90° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{9}{2} \cdot 1 = 27\]

Шаг 4: Найдем площадь сечения пирамиды ABCS.
Сечение плоскостью, проходящей через сторону основания AB и точку F, будет иметь форму треугольника ABF.
Таким образом, площадь сечения пирамиды ABCS равна \(S_{\text{сечения}} = S_{ABF} = 27\).

Таким образом, площадь сечения пирамиды ABCS плоскостью, проходящей через сторону основания AB и точку F, равна 27.