Какова площадь сечения конуса параллельной основанию плоскостью, которая находится на расстоянии 2 см от вершины

Для решения данной задачи нам необходимо использовать геометрические свойства конуса.

Сначала вспомним определение площади сечения конуса. Площадь сечения конуса параллельной основанию плоскостью равна площади основания, умноженной на отношение высоты сечения к высоте конуса.

Итак, у нас дан конус с радиусом основания 10 см и высотой \(h\). Плоскость, параллельная основанию и проходящая на расстоянии 2 см от вершины конуса, образует с конусом маленький конус подобно секущей плоскости. Давайте обозначим высоту этого маленького конуса как \(h_1\) и радиус его основания как \(r_1\).

Теперь применим подобие треугольников. Так как высота конуса в пропорции с расстоянием от вершины до секущей плоскости, мы можем записать следующее:

\(\frac{h_1}{h} = \frac{r_1}{r}\)

Заметим, что самая маленькая секущая основания прямая, проходящая через вершину и перпендикулярная ему. Поэтому маленький конус и большой конус подобны, и это значит, что

\(\frac{h_1}{h} = \frac{r_1}{r} = \frac{h - 2}{h}\)

Найдем \(h_1\):

\(\frac{h - 2}{h} = \frac{10}{r}\)
\(h - 2 = \frac{10h}{r}\)
\(hr - 2r = 10h\)
\(hr - 10h = 2r\)
\(h(r - 10) = 2r\)
\(h = \frac{2r}{r - 10}\)

Теперь, найдем радиус \(r_1\):

\(\frac{r_1}{r} = \frac{h - 2}{h}\)
\(r_1 = \frac{(h - 2)r}{h}\)

Мы нашли выражения для высоты и радиуса маленького конуса. Теперь, чтобы найти площадь основания этого конуса, мы можем использовать следующую формулу:

\(S_1 = \pi r_1^2\)

Подставляя значения \(h\) и \(r_1\) в формулу, получим:

\(S_1 = \pi \left(\frac{(h - 2)r}{h}\right)^2\)

Теперь, чтобы найти площадь сечения конуса, нам необходимо умножить площадь основания маленького конуса на отношение \(h_1\) к \(h\):

\(S = S_1 \cdot \frac{h_1}{h}\)

Подставляя найденные значения \(h\), \(r\), \(h_1\) и \(S_1\) в данную формулу, получим итоговый ответ:

\[S = \pi \left(\frac{(h - 2)r}{h}\right)^2 \cdot \frac{\frac{2r}{r - 10}}{h}\]