Какова площадь сечения единичного куба плоскостью, которая проходит через центры ребер bb1, cc1 и середину ребра

Для начала разберемся с первой задачей. Мы должны найти площадь сечения единичного куба плоскостью, которая проходит через центры ребер \(bb_1\), \(cc_1\) и середину ребра \(ab\). Чтобы решить эту задачу, нам понадобится понять, как эта плоскость проходит через куб.

Поскольку плоскость проходит через центры ребер \(bb_1\), \(cc_1\), она будет параллельна плоскости, в которой лежат эти ребра. Эти ребра являются диагоналями грани куба, поэтому плоскость будет параллельна этой грани.

Также, поскольку плоскость проходит через середину ребра \(ab\), она будет перпендикулярна этому ребру.

Возьмем две параллельные грани куба, относящиеся к вершинам \(b\), \(b_1\), \(c\), \(c_1\). Куб имеет ребро длиной 1, поэтому расстояние между этими гранями равно 1.

Плоскость, проходящая через вершину \(b\) и параллельная граням куба, будет пересекать грань, содержащую ребра \(bb_1\), \(cc_1\), вдоль отрезка \(cc_1\). Аналогично, плоскость, проходящая через вершину \(b\) и параллельная граням куба, будет пересекать грань, содержащую ребро \(ab\), вдоль отрезка \(ab\).

Таким образом, мы получаем параллелограмм, который является площадью сечения куба плоскостью, проходящей через центры ребер \(bb_1\), \(cc_1\) и середину ребра \(ab\).

Чтобы найти площадь этого параллелограмма, нам нужно найти его основание и высоту.

Основание параллелограмма - это отрезок \(cc_1\), который равен расстоянию между параллельными гранями, а именно 1.

Высота параллелограмма - это отрезок \(ab\), который является диагональю грани куба. Мы можем найти эту диагональ, используя теорему Пифагора. Длина ребра куба равна 1, поэтому длина диагонали грани будет равна \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма, перемножив длину основания на высоту: \(1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}\).

Таким образом, площадь сечения единичного куба плоскостью, проходящей через центры ребер \(bb_1\), \(cc_1\) и середину ребра \(ab\), равна \(\sqrt{2}\).

Теперь перейдем ко второй задаче. Мы должны найти площадь сечения единичного куба плоскостью, которая проходит через вершину \(b\) и середину отрезка \(a_1d_1\), \(d_1c_1\).

Аналогично первой задаче, плоскость, проходящая через вершину \(b\) и середину отрезка \(a_1d_1\), \(d_1c_1\), будет перпендикулярна отрезку \(a_1d_1\).

Поскольку отрезок \(a_1d_1\) является диагональю грани куба, плоскость будет пересекать грань, содержащую эту диагональ, вдоль отрезка \(a_1b\).

Таким образом, мы получаем треугольник, который является площадью сечения куба плоскостью, проходящей через вершину \(b\) и середину отрезка \(a_1d_1\), \(d_1c_1\).

Для нахождения площади этого треугольника, нам нужно найти его высоту и основание.

Основание треугольника - это отрезок \(a_1b\), равный длине ребра куба, то есть 1.

Высота треугольника - это расстояние от вершины \(b\) до плоскости, проходящей через \(a_1d_1\), \(d_1c_1\). Это расстояние равно расстоянию между вершиной \(b\) и отрезком \(a_1d_1\).

Отрезок \(a_1d_1\) является диагональю грани куба, поэтому его длина равна \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

Теперь нам нужно найти расстояние от вершины \(b\) до отрезка \(a_1d_1\).

Мы можем рассмотреть прямую \(l\), проходящую через вершину \(b\) и перпендикулярную грани, содержащей отрезок \(a_1d_1\). Далее, найдем пересечение этой прямой с плоскостью, содержащей отрезок \(a_1d_1\). Обозначим это пересечение точкой \(M\).

Заметим, что отрезок \(a_1d_1\) делит ребро \(bb_1\) пополам, поэтому точка \(M\) будет также являться серединой ребра \(bb_1\).

Таким образом, отрезок \(M_{b}M\), где \(M_{b}\) это середина ребра \(bb_1\), будет являться высотой треугольника.

Теперь нам нужно найти длину этого отрезка \(M_{b}M\).

Поскольку \(M\) является серединой ребра \(bb_1\), то отрезок \(M_{b}M\) будет равен половине длины ребра \(bb_1\).

Длина ребра \(bb_1\) равна длине ребра куба, то есть 1. Значит, длина отрезка \(M_{b}M\) будет равна \(0.5\).

Таким образом, мы получили треугольник с высотой \(0.5\) и основанием \(1\).

Площадь этого треугольника можно найти, используя формулу для площади пямоугольника:

\[Площадь = \frac{{\text{{база}} \cdot \text{{высота}}}}{2} = \frac{{1 \cdot 0.5}}{2} = \frac{1}{4}\]

Таким образом, площадь сечения единичного куба плоскостью, проходящей через вершину \(b\) и середину отрезка \(a_1d_1\), \(d_1c_1\), равна \(\frac{1}{4}\).