Какова площадь сечения единичного куба ABCD A1 B1 C1 D1 плоскостью, проходящей через следующие вершины: а) A, B

Чтобы найти площадь сечения плоскостью, проходящей через указанные вершины, нам нужно понять, как эта плоскость выглядит внутри куба.

Посмотрим на каждое из заданных сечений поочередно:

а) A, B, C1:

Начнем с рассмотрения вершин A, B и C1. Вектор AB - это отрезок, соединяющий вершины A и B, а вектор BC1 - это отрезок между вершинами B и C1. Чтобы найти площадь сечения, построим плоскость, проходящую через эти три точки.

Для начала, найдем нормаль этой плоскости. Вектор AB и вектор BC1 лежат в плоскости сечения, поэтому и направление их векторного произведения будет определять нормаль к плоскости.

Найдем векторное произведение AB и BC1:

\[ \overrightarrow{N} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC1} \]

Чтобы выполнить это умножение, возьмем координаты векторов:

AB: \((x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\)

BC1: \((x_3 - x_2, y_3 - y_2, z_3 - z_2)\)

Теперь вычислим:

\[ \overrightarrow{N} = \left( (x_2 - x_1)(y_3 - y_2) - (y_2 - y_1)(x_3 - x_2), (y_2 - y_1)(z_3 - z_2) - (z_2 - z_1)(y_3 - y_2), (z_2 - z_1)(x_3 - x_2) - (x_2 - x_1)(z_3 - z_2) \right) \]

После вычисления векторного произведения, получаем нормаль:

\[ \overrightarrow{N} = (N_x, N_y, N_z) \]

Теперь у нас есть нормаль к плоскости. Мы можем записать уравнение плоскости в общем виде:

\[ N_x(x - x_1) + N_y(y - y_1) + N_z(z - z_1) = 0 \]

где (x, y, z) - координаты произвольной точки на плоскости, а (x_1, y_1, z_1) - координаты точки A.

Таким образом, плоскость, проходящая через вершины A, B и C1, описывается уравнением:

\[ N_x(x - x_1) + N_y(y - y_1) + N_z(z - z_1) = 0 \]

можем записать уравнение плоскости сечения и перейти к следующей задаче.