Какова площадь равнобедренной трапеции, если ее основания составляют 5 и 9, а один из углов равен 45 градусов?

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу площади равнобедренной трапеции.

Формула площади равнобедренной трапеции выглядит следующим образом:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота трапеции, \(S\) - площадь трапеции.

Нам известны величины оснований \(a = 5\) и \(b = 9\), а также данный угол 45 градусов.

Поскольку мы знаем один из углов, то можем использовать геометрическую связь между углами и сторонами равнобедренной трапеции.

Из геометрических соображений можно прийти к выводу, что угол между боковой стороной и основанием (не равным 45 градусов) равен 180 минус два раза данный угол.

\[180 - 2 \cdot 45 = 90\]

То есть, у нас получается прямоугольный треугольник, где один из углов равен 90 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для определения длины боковой стороны треугольника.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В данном случае, гипотенузой является боковая сторона трапеции, которую мы обозначим \(c\), а катетами будут основания трапеции \(a = 5\) и \(b = 9\).

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

\[c^2 = 5^2 + 9^2\]

\[c^2 = 25 + 81\]

\[c^2 = 106\]

Чтобы найти длину боковой стороны, возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[c = \sqrt{106}\]

Теперь, имея все известные стороны трапеции, мы можем найти высоту \(h\) трапеции.

Опять же, геометрические соображения позволяют нам найти высоту, образованную перпендикулярной, опущенной из вершины 90-градусного угла на основание трапеции.

Так как мы знаем, что это прямоугольный треугольник с катетами равными 5 и 9, то можем использовать следующую формулу для нахождения высоты \(h\):

\[h = \sqrt{b^2 - a^2}\]

\[h = \sqrt{9^2 - 5^2}\]

\[h = \sqrt{81 - 25}\]

\[h = \sqrt{56}\]

Теперь, когда мы знаем длину сторону \(c\) и высоту \(h\), мы можем использовать формулу для нахождения площади трапеции:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

\[S = \frac{(5 + 9) \cdot \sqrt{56}}{2}\]

\[S = \frac{14 \cdot \sqrt{56}}{2}\]

\[S = 7 \cdot \sqrt{56}\]

Ответ:

Площадь равнобедренной трапеции, с основаниями 5 и 9 и одним из углов равным 45 градусов, равна \(7 \cdot \sqrt{56}\).