Какова площадь прямоугольной трапеции, если ее меньшее основание равно 9 см, меньшая боковая сторона равна 8

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить площадь прямоугольной трапеции, используя предоставленные данные о ее размерах.

Первым шагом будет нахождение длины большего основания трапеции. Для этого мы можем использовать тригонометрический закон синусов в треугольнике, образованном большим основанием, меньшим основанием и боковой стороной. Формула для закона синусов:
\[\frac{{a}}{{\sin(A)}} = \frac{{b}}{{\sin(B)}}\]
где \(a\) и \(b\) - соответствующие стороны треугольника, \(A\) и \(B\) - противолежащие углы.

В нашем случае, меньший основание равно 9 см, меньшая боковая сторона равна 8 см, и угол между большей боковой стороной и меньшим основанием равен 45 градусам. Применяя формулу закона синусов, мы можем найти длину большего основания:
\[\frac{{9}}{{\sin(45^\circ)}} = \frac{{b}}{{\sin(90^\circ)}}\]
\[\frac{{9}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}} = \frac{{b}}{{1}}\]
\[b = 9 \cdot \frac{{2}}{{\sqrt{2}}} = 9\sqrt{2} \approx 12,728\,см\]

Теперь, когда мы знаем длину обоих оснований, мы можем вычислить площадь трапеции. Формула для площади прямоугольной трапеции:
\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]
где \(a\) и \(b\) - длины оснований, \(h\) - высота трапеции.

Высоту трапеции можно найти, используя теорему Пифагора. Так как большая боковая сторона образует угол 45 градусов с основанием, то мы можем рассматривать треугольник, образованный этой стороной, высотой трапеции и прямым углом. Обозначим высоту как \(h\). Тогда, применяя теорему Пифагора, получим:
\[h^2 + 8^2 = (9\sqrt{2})^2\]
\[h^2 + 64 = 162\]
\[h^2 = 162 - 64 = 98\]
\[h = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9.899\,см\]

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:
\[S = \frac{{9 + 9\sqrt{2}}}{2} \cdot 7\sqrt{2}\]
\[S = \frac{{9(1 + \sqrt{2})}}{2} \cdot 7\sqrt{2}\]
\[S = \frac{{63(1 + \sqrt{2})\sqrt{2}}}{2}\]
\[S = \frac{{63\sqrt{2} + 63\sqrt{2}\sqrt{2}}}{2}\]
\[S = \frac{{63\sqrt{2} + 63 \cdot 2}}{2}\]
\[S = \frac{{63\sqrt{2} + 126}}{2}\]
\[S = \frac{{63(\sqrt{2} + 2)}}{2}\]
\[S = 31.5(\sqrt{2} + 2) \approx 88,388\,см^2\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции, с указанными размерами, составляет около 88,388 квадратных сантиметров.