Какова площадь прямоугольной трапеции ABCD, если сторона AD равна 12 см, сторона BC равна 8 см, и угол ADC равен

Для решения этой задачи, мы можем применить формулу для вычисления площади трапеции. Формула для площади трапеции выглядит следующим образом:

\[ S = \frac{(a+b)h}{2} \]

где \( S \) обозначает площадь трапеции, \( a \) и \( b \) - это длины оснований, а \( h \) - это высота трапеции.

Однако, в нашей задаче у нас есть только длины сторон AD и BC, и угол ADC. Нам нужно найти высоту, чтобы мы могли продолжить с расчетами.

Первым шагом, давайте нарисуем трапецию ABCD и обозначим известные значения:

B _________ C
| |
| |
|_________|
A D

У нас есть сторона AD равная 12 см, сторона BC равная 8 см и угол ADC равный 45 градусов.

Затем, давайте построим высоту трапеции, проведя перпендикуляр от вершины D к стороне BC. Обозначим точку пересечения этой высоты и стороны BC как точку E:

B _________ C
| |
| E |
|_________|
A D

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ADE, и угол ADC равен 45 градусов, что означает, что угол AED также равен 45 градусов, потому что они прилегающие и сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Таким образом, у нас есть правильный прямоугольный треугольник ADE с углами 45 градусов, 45 градусов, и 90 градусов.

Высота трапеции DE является высотой прямоугольного треугольника ADE. Длина стороны DE и стороны AD одинаковы, так как у нас есть прямой угол EAD, и угол DEA также равен 45 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Теперь, чтобы найти высоту, мы можем использовать теорему Пифагора, так как мы знаем длины сторон AD и DE.

Теорема Пифагора гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

где \( c \) - это гипотенуза, а \( a \) и \( b \) - это катеты прямоугольного треугольника.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ADE:

\[ DE^2 = AD^2 + AE^2 \]

Мы знаем, что AD равно 12 см и угол AED равен 45 градусов, поэтому AE также равно 12 см. Подставим эти значения в уравнение:

\[ DE^2 = 12^2 + 12^2 \]
\[ DE^2 = 144 + 144 \]
\[ DE^2 = 288 \]

Теперь найдем значение DE, взяв квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[ DE = \sqrt{288} \]
\[ DE \approx 16.97 \]

Таким образом, высота трапеции DE равна примерно 16.97 см.

Теперь, когда у нас есть значение высоты, мы можем подставить его в формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{(AD + BC) \cdot DE}{2} \]
\[ S = \frac{(12 + 8) \cdot 16.97}{2} \]
\[ S = \frac{20 \cdot 16.97}{2} \]
\[ S = \frac{339.4}{2} \]
\[ S \approx 169.7 \]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции ABCD составляет примерно 169.7 квадратных сантиметров.