Какова площадь прямоугольника, вписанного в цилиндр с высотой и радиусом, равными 32 и 13 соответственно, так

Для решения данной задачи, нам необходимо разделить её на несколько шагов:

Шаг 1: Найти координаты вершин прямоугольника.
Шаг 2: Найти длины сторон прямоугольника.
Шаг 3: Найти площадь прямоугольника.

Шаг 1: Найдем координаты вершин прямоугольника.
Поскольку вершины прямоугольника лежат на окружностях оснований цилиндра, мы можем использовать уравнение окружности в полярных координатах:

\[ x = r \cos(\theta) \]
\[ y = r \sin(\theta) \]

Где \( r \) - радиус окружности, а \( \theta \) - угол, измеряемый от положительного направления оси \( x \).

Найдем координаты вершин прямоугольника:
Для вершин, лежащих на верхней окружности:
Вершина A: \( x = 13 \cos(0) = 13 \cdot 1 = 13 \), \( y = 13 \sin(0) = 13 \cdot 0 = 0 \)
Вершина B: \( x = 13 \cos(\pi/2) = 0 \), \( y = 13 \sin(\pi/2) = 13 \cdot 1 = 13 \)

Для вершин, лежащих на нижней окружности:
Вершина C: \( x = 13 \cos(\pi) = 13 \cdot (-1) = -13 \), \( y = 13 \sin(\pi) = 13 \cdot 0 = 0 \)
Вершина D: \( x = 13 \cos(3\pi/2) = 0 \), \( y = 13 \sin(3\pi/2) = 13 \cdot (-1) = -13 \)

Итак, координаты вершин прямоугольника:
A(13, 0), B(0, 13), C(-13, 0), D(0, -13)

Шаг 2: Найдем длины сторон прямоугольника.
Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Пусть \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \) - две точки, тогда расстояние между ними можно найти по формуле:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Таким образом, длины сторон прямоугольника:
AB = \( \sqrt{(0 - 13)^2 + (13 - 0)^2} = \sqrt{(-13)^2 + 13^2} = \sqrt{338} \)
BC = \( \sqrt{(-13 - 0)^2 + (0 - 13)^2} = \sqrt{(-13)^2 + (-13)^2} = \sqrt{338} \)
CD = \( \sqrt{(0 - (-13))^2 + (-13 - 0)^2} = \sqrt{13^2 + (-13)^2} = \sqrt{338} \)
DA = \( \sqrt{(13 - 0)^2 + (-13 - 0)^2} = \sqrt{13^2 + (-13)^2} = \sqrt{338} \)

Шаг 3: Найдем площадь прямоугольника.
Площадь прямоугольника можно найти по формуле:

\[ S = \text{длина} \times \text{ширина} \]

Так как у нас есть соотношение сторон в прямоугольнике (1:4), то длина будет равна 4 разам ширины. Обозначим ширину как \( w \), тогда длина будет \( 4w \).

Таким образом, площадь прямоугольника:
\[ S = 4w \cdot w = 4w^2 \]

Теперь подставим известные значения.

Ширина \( w = \frac{\text{AB}}{4} = \frac{\sqrt{338}}{4} \)
\[ S = 4\left(\frac{\sqrt{338}}{4}\right)^2 = \sqrt{338}^2 = 338 \]

Итак, площадь прямоугольника, вписанного в заданный цилиндр, равна 338.