Какова площадь прямоугольника, если известно, что отношение его диагонали к длине составляет 5:3, а ширина равна

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для нахождения площади прямоугольника. Площадь прямоугольника можно выразить как произведение его длины (a) и ширины (b): Площадь = Длина × Ширина.

Дано, что отношение диагонали к длине прямоугольника составляет 5:3. При этом можно заметить, что диагональ, длина и ширина прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. Используя теорему Пифагора, получим следующее уравнение:

\(диагональ^2 = длина^2 + ширина^2\)

Поскольку отношение диагонали к длине равно 5:3, мы можем записать, что

\(диагональ = \frac{5}{3} \cdot длина\).

Подставляя это в уравнение Пифагора, получаем:

\(\left(\frac{5}{3} \cdot длина\right)^2 = длина^2 + ширина^2\).

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

\(\frac{25}{9} \cdot длина^2 = длина^2 + ширина^2\).

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\(\frac{16}{9} \cdot длина^2 = ширина^2\).

Мы знаем, что ширина прямоугольника равняется некоторому числу, но это значение нам неизвестно, поэтому обозначим его как \(x\). Теперь у нас есть две переменные: \(длина\) и \(ширина\).

Используя данную информацию, мы можем записать систему уравнений:

\(\frac{16}{9} \cdot длина^2 = x^2\) - (1)
\(ширина = x\) - (2)

Теперь решим это уравнение используя метод подстановки. Подставим уравнение (2) в уравнение (1):

\(\frac{16}{9} \cdot длина^2 = ширина^2\)
\(\frac{16}{9} \cdot длина^2 = x^2\)

Заменяем \(ширина\) на \(x\):

\(\frac{16}{9} \cdot длина^2 = x^2\)

Умножаем обе части уравнения на \(\frac{9}{16}\):

\(длина^2 = \frac{9}{16} \cdot x^2\)

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

\(длина = \frac{3}{4} \cdot x\)

Теперь мы знаем, что \(ширина = x\) и \(длина = \frac{3}{4} \cdot x\). Далее, воспользуемся формулой для нахождения площади прямоугольника: Площадь = Длина × Ширина.

Подставляем значения:

Площадь = \(\frac{3}{4} \cdot x \cdot x\)
или
Площадь = \(\frac{3}{4} \cdot x^2\).

Итак, площадь прямоугольника равна \(\frac{3}{4} \cdot x^2\).