Какова площадь прямоугольника, если его периметр равен 30 дм и одна из его сторон равна

Для решения данной задачи, мы будем использовать формулу для периметра прямоугольника, а затем найдем площадь прямоугольника.

Задачу можно решить, следуя следующим шагам:

Шаг 1: Периметр прямоугольника - это сумма длин его всех сторон. Поэтому, если мы знаем только периметр прямоугольника и одну из его сторон, мы можем найти вторую сторону.

Пусть одна из сторон равна \(a\) дм. Тогда, сумма всех сторон равна \(2a + 2b\), где \(b\) - вторая сторона прямоугольника.

Из условия задачи мы знаем, что периметр равен 30 дм. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[2a + 2b = 30\]

Шаг 2: Теперь мы можем решить уравнение относительно второй стороны прямоугольника \(b\).

Разделим всю исходную формулу на 2:

\[a + b = 15\]

Теперь выразим \(b\) через \(a\):

\[b = 15 - a\]

Шаг 3: Теперь у нас есть выражение для второй стороны прямоугольника \(b\) в зависимости от первой стороны \(a\). Используем это, чтобы найти площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника - это произведение его сторон. То есть:

\[S = a \cdot b\]

Подставим выражение для \(b\) из шага 2:

\[S = a \cdot (15 - a)\]

Шаг 4: Приведем уравнение площади прямоугольника к виду, удобному для решения.

Умножим скобку:

\[S = 15a - a^2\]

Шаг 5: Теперь у нас есть уравнение площади прямоугольника в квадратичной форме. Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно найти вершину параболы, которую образует это уравнение.

Мы знаем, что парабола вида \(y = ax^2 + bx + c\) имеет вершину в точке \((-b/2a, -D/4a)\), где \(D\) - дискриминант.

У нас есть уравнение \(S = 15a - a^2\), которое является параболой с коэффициентами \(a = -1\), \(b = 15\) и \(c = 0\).

Вычислим вершину параболы:

\[x = -\frac{15}{2(-1)} = \frac{15}{2}\]
\[y = -\frac{D}{4a} = -\frac{225 - 4(1)(0)}{4(-1)} = \frac{225}{4}\]

Таким образом, чтобы площадь прямоугольника была максимальной, значение длины стороны \(a\) должно быть равно \(15/2\) дм, а соответствующая площадь будет равна \(225/4\) квадратных дециметров.

Ответ: Площадь прямоугольника, если его периметр равен 30 дм и одна из его сторон равна \(15/2\) дм, составляет \(225/4\) квадратных дециметров.