Какова площадь правильного восьмиугольника, который вписан в окружность радиусом

Для решения данной задачи, нам понадобится знание о правильных восьмиугольниках и умение находить площадь многоугольника.

Правильный восьмиугольник - это восьмиугольник, все стороны и углы которого равны между собой. В нашем случае, восьмиугольник вписан в окружность с радиусом \(R\).

Чтобы найти площадь восьмиугольника, нам нужно знать его сторону или его радиус. Мы можем найти сторону восьмиугольника, используя радиус окружности. В правильном многоугольнике каждая сторона является хордой окружности. Хорда равна двум радиусам окружности, умноженным на синус половины центрального угла, под которым она находится.

В нашем случае, центральный угол восьмиугольника равен \(360^\circ/8 = 45^\circ\). Таким образом, сторона равна \(2R \cdot \sin(45^\circ)\).

Теперь мы можем использовать найденную сторону для нахождения площади восьмиугольника. Площадь правильного многоугольника можно найти по формуле:

\[S = \frac{1}{4} \cdot n \cdot a^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\]

где \(n\) - количество сторон многоугольника, а \(a\) - длина стороны.

В нашем случае \(n = 8\) и \(a = 2R \cdot \sin(45^\circ)\). Подставляя значения, получаем:

\[S = \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot (2R \cdot \sin(45^\circ))^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{8}\right)\]

Упростим выражение:

\[S = 4R^2 \cdot \sin^2(45^\circ) \cdot \cot\left(\frac{\pi}{8}\right)\]

Значение синуса \(45^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), а значение котангенса \(\frac{\pi}{8}\) равно \(\sqrt{2}+\sqrt{2}/2\). Подставляем значения и выполняем вычисления:

\[S = 4R^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \left(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

Упрощаем дальше:

\[S = 4R^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]
\[S = 2R^2 \cdot \left(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

Таким образом, площадь правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиусом \(R\), равна \(2R^2 \cdot \left(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).