Какова площадь правильного шестиугольника, который описывает окружность, если расстояние между хордой длиной

Для решения данной задачи нам понадобится использовать некоторые свойства правильных многоугольников и окружностей. Давайте посмотрим на несколько шагов, чтобы найти площадь заданного правильного шестиугольника.

Шаг 1: Расстояние между хордой и центром окружности

Дано, что расстояние между хордой и центром окружности изменено. Давайте обозначим это расстояние как \(d\). Также, обозначим радиус окружности как \(r\).

Шаг 2: Запись формулы для радиуса

Мы знаем, что радиус окружности не изменяется при изменении расстояния между хордой и центром окружности. Поэтому, мы можем записать следующее уравнение:

\[r = d + \frac{h}{2}\]

Где \(h\) - высота равностороннего треугольника, образованного хордой.

Шаг 3: Выразим высоту треугольника

Так как мы имеем дело с правильным шестиугольником, каждый из шестиугольников, образованных хордой, является равносторонним треугольником. Зная длину хорды, мы можем найти высоту треугольника с помощью формулы \(h = \sqrt{3} \times \frac{l}{2}\), где \(l\) - длина хорды.

Шаг 4: Найдем площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times l^2\), где \(l\) - длина стороны треугольника.

Шаг 5: Найдем площадь шестиугольника

Так как шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, мы можем найти площадь всего шестиугольника, умножив площадь одного треугольника на 6. То есть:

\[S_{шестиугольника} = 6 \times S_{треугольника}\]

Шаг 6: Подставим значения и решим задачу

Теперь мы можем использовать формулы, чтобы найти площадь заданного шестиугольника. Подставим значение длины хорды, которое равно 4 см, в формулы для высоты и площади треугольника:

\[h = \sqrt{3} \times \frac{4}{2} = 2\sqrt{3} \, \text{см}\]
\[S_{треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4^2) = 4\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Теперь, найдем площадь шестиугольника:

\[S_{шестиугольника} = 6 \times 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Итак, площадь правильного шестиугольника, описывающего окружность, при изменении расстояния между хордой длиной 4 см и центром окружности, равна \(24\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.