Какова площадь правильного двенадцатиугольника, который вписан в окружность

Question

Геометрия: Какова площадь правильного двенадцатиугольника, который вписан в окружность с радиусом?

Звездный_Пыл · Accepted Answer

Чтобы найти площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность с радиусом \(r\), можно разбить его на 12 равносторонних треугольников и затем посчитать площадь одного такого треугольника.

Первым шагом найдем длину стороны одного треугольника. Радиус окружности является радиусом описанной окружности для двенадцатиугольника. Для правильного многоугольника сторона равна диаметру описанной окружности. Таким образом, длина стороны равна удвоенному радиусу, то есть \(2r\).

Далее можем использовать формулу площади равностороннего треугольника:

\[S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставим значение \(a = 2r\) в формулу и получим:

\[S = \frac{{(2r)^2 \sqrt{3}}}{4} = \frac{{4r^2 \sqrt{3}}}{4} = r^2 \sqrt{3}\]

Таким образом, площадь одного треугольника равна \(r^2 \sqrt{3}\).

Чтобы найти площадь всего двенадцатиугольника, умножим площадь одного треугольника на количество треугольников:

\[S_\text{{двенадцатиугольника}} = 12 \times S_\text{{треугольника}} = 12 \times r^2 \sqrt{3} = 12r^2 \sqrt{3}\]

Таким образом, площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность с радиусом \(r\), равна \(12r^2 \sqrt{3}\).

Какова площадь правильного двенадцатиугольника, который вписан в окружность с радиусом?

Звездный_Пыл

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!