Какова площадь поверхности вращающегося тела, если это равнобочная трапеция с основаниями длиной 12 см и 28 см, высотой

Чтобы найти площадь поверхности вращающегося тела, нам необходимо разделить трапецию на три геометрических фигуры и найти площади каждой из них:

1. Нижний сегмент: Это круговой сектор, который образуется при вращении меньшего основания вокруг его оси. Площадь данного сегмента можно найти следующим образом:

- Сначала найдем длину окружности меньшего основания. Для этого воспользуемся формулой длины окружности:

\(L = 2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности, равный половине длины меньшего основания.

- Для нашей трапеции, \(r = \frac{12}{2} = 6\).

- Теперь найдем меру центрального угла сектора. Для этого нужно определить, какую часть полного оборота делает сектор. В данном случае, сектор поворачивается на \(360^\circ\) вокруг оси.

- Теперь найдем меру центрального угла \(\theta\) по формуле:

\(\theta = \frac{L}{C} \times 360^\circ\), где \(L\) - длина дуги сектора, \(C\) - длина окружности меньшего основания.

- В нашем случае, \(L = 2\pi \times 6\), \(C = 2\pi \times 6\).

- Подставляем значения: \(\theta = \frac{2\pi \times 6}{2\pi \times 6} \times 360^\circ = 360^\circ\).

- Теперь найдем площадь сектора круга по формуле:

\(S = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2\).

- Подставляем значения: \(S = \frac{360^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 6^2 = 36\pi\).

2. Боковая поверхность: Это прямоугольный параллелепипед, который получается вращением боковой стороны трапеции вокруг оси. Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту трапеции. В нашем случае:

- Периметр основания равен сумме длин оснований: \(P = 12 + 28 = 40\).

- Площадь боковой поверхности равна \(S = P \times h = 40 \times 6 = 240\).

3. Верхний сегмент: Это круговой сектор, который образуется при вращении большего основания вокруг его оси. Площадь верхнего сегмента рассчитывается аналогично площади нижнего сегмента. Радиус окружности равен половине длины большего основания (14 см), мера центрального угла равна \(360^\circ\), поэтому площадь верхнего сегмента также равна \(36\pi\).

Теперь, чтобы получить полную площадь поверхности вращающегося тела, мы складываем площади всех трех частей:

\(S_{\text{полн}} = S_{\text{нижний сегмент}} + S_{\text{боковая поверхность}} + S_{\text{верхний сегмент}}\)

\(S_{\text{полн}} = 36\pi + 240 + 36\pi\)

Таким образом, площадь поверхности вращающегося тела равна \(72\pi + 240\) квадратных сантиметров (см²).