Какова площадь поверхности тела, образованного вращением стороны правильного треугольника с периметром 36 см вокруг

Хорошо, я проведу вас через пошаговое решение этой задачи. Для начала давайте определим, что такое поверхность, образованная вращением стороны треугольника вокруг самой стороны.

Представьте правильный треугольник с стороной \(a\). Если взять эту сторону и повернуть ее вокруг самой себя, тогда получится конус или, точнее говоря, поверхность конуса.

Для того чтобы рассчитать площадь поверхности этого тела, мы должны сначала найти радиус и образующую поверхности конуса. Давайте начнем с нахождения радиуса \(r\).

Известно, что периметр треугольника равен 36 см. Поскольку у нас правильный треугольник, все его стороны равны друг другу. Таким образом, каждая сторона треугольника равна \(\frac{{36 \text{ см}}}{3}=12 \text{ см}\).

Теперь нам нужно найти радиус \(r\). Чтобы это сделать, мы можем воспользоваться формулой для периметра треугольника:

\[P = 3r,\]

где \(P\) - периметр треугольника, а \(r\) - радиус окружности, вокруг которой поворачивается сторона треугольника.

Подставляя известные значения, получим:

\[12 \text{ см} = 3r.\]

Теперь можно найти радиус \(r\):

\[r = \frac{{12 \text{ см}}}{3} = 4 \text{ см}.\]

Итак, теперь у нас есть радиус окружности \(r = 4 \text{ см}\). Найдем теперь образующую \(l\) (высоту конуса), так как это сторона треугольника:

Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как мы знаем, что треугольник правильный:

\[l^2 = a^2 - r^2,\]

где \(a\) - длина стороны треугольника, \(r\) - радиус.

Подставляя значения, получим:

\[l^2 = 12^2 - 4^2 = 144 - 16 = 128.\]

Теперь найдем образующую \(l\):

\[l = \sqrt{128} \approx 11.31 \text{ см}.\]

Таким образом, мы нашли радиус \(r = 4 \text{ см}\) и образующую \(l \approx 11.31 \text{ см}\). Теперь можем рассчитать площадь поверхности.

Площадь поверхности конуса может быть рассчитана по формуле:

\[S = \pi r (r + l),\]

где \(S\) - площадь поверхности, \(r\) - радиус, \(l\) - образующая.

Подставляя значения, получим:

\[S = \pi \cdot 4 \text{ см} \cdot (4 \text{ см} + 11.31 \text{ см}) \approx 94.25 \text{ см}^2.\]

Таким образом, площадь поверхности тела, образованного вращением стороны правильного треугольника с периметром 36 см вокруг самой стороны, составляет примерно 94.25 квадратных сантиметра.

Вот рисунок, который поможет вам визуализировать данную задачу:

          /\

         /   \

        /      \

       /         \

      /____________\