Какова площадь поверхности шара, если плоскость, проходящая на расстоянии 4 см от центра шара, касается

Давайте рассмотрим задачу поэтапно для лучшего понимания.

Первый вопрос: Какова площадь поверхности шара, если плоскость, проходящая на расстоянии 4 см от центра шара, касается его поверхности?

Решение:
1. Возьмем шар с центром в точке O и радиусом r. Пусть точка касания плоскости с поверхностью шара обозначена буквой A, а точка касания плоскости с осью OX - буквой B.
2. Треугольник OAB является прямоугольным, поэтому применяя теорему Пифагора, находим длину отрезка OA:
\[OA = \sqrt{OB^2 + AB^2}\]
3. Так как плоскость, проходящая на расстоянии 4 см от центра шара, касается его поверхности, то отрезок AB будет равен радиусу шара r.
4. Подставляя значения в формулу, получаем:
\[OA = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}\]
5. Площадь поверхности шара определяется формулой:
\[S = 4\pi r^2\]
6. Подставляя значение OA вместо r, получаем:
\[S = 4\pi \cdot (r\sqrt{2})^2 = 4\pi \cdot 2r^2 = 8\pi r^2\]

Ответ: Площадь поверхности шара равна \(8\pi r^2\).

Теперь перейдем ко второму вопросу: Если диаметр шара равен 6, какова площадь сечения шара, которое получается плоскостью, проведенной под углом 45 градусов через конец диаметра?

Решение:
1. Для начала найдем радиус шара, используя формулу \(r = \frac{d}{2}\), где d - диаметр. В данном случае, \(r = \frac{6}{2} = 3\).
2. Пусть плоскость, проведенная под углом 45 градусов через конец диаметра, пересекает шар по окружности с центром в точке O и радиусом r.
3. Площадь сечения шара определяется как площадь окружности, поэтому для нахождения этой площади мы должны использовать формулу:
\[S = \pi r^2\]
4. Подставляя значение радиуса r, получаем:
\[S = \pi \cdot 3^2 = \pi \cdot 9 = 9\pi\]

Ответ: Площадь сечения шара, получающегося плоскостью, проведенной под углом 45 градусов через конец диаметра, равна \(9\pi\).

Наконец, рассмотрим третий вопрос: Если площадь сферы, вписанной в куб, равна 25π, то каков радиус сферы, описанной около этого куба?

Решение:
1. Пусть сторона куба равна a.
2. Сфера, вписанная в куб, касается каждой стороны куба в точках, делящих ее сторону пополам. Радиус вписанной сферы (r1) равен половине стороны куба.
3. Сфера, описанная около куба, проходит через центры граней куба. Радиус описанной сферы (r2) равен половине диагонали грани куба.
4. Площадь сферы связана с ее радиусом следующим образом:
\[S = 4\pi r^2\]
5. Площадь вписанной сферы, равная 25π, выражается формулой:
\[25\pi = 4\pi (r1)^2\]
\[25 = 4(r1)^2\]
\[6.25 = (r1)^2\]
\[r1 = \sqrt{6.25}\]
6. Так как r1 равен половине стороны куба, получаем:
\[r1 = \frac{a}{2} = \sqrt{6.25}\]
7. Решая уравнение, находим значение стороны куба:
\[a = 2\sqrt{6.25} = 2 \cdot 2.5 = 5\]
8. Радиус описанной сферы r2 равен половине диагонали грани куба, которая выражается как \(\sqrt{2} \cdot\) сторона куба:
\[r2 = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\]

Ответ: Радиус сферы, описанной около куба, равен \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).