Какова площадь поверхности сферы, если известно, что АВ = 6 см, угол АСВ = 60° и расстояние от центра сферы

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу для площади поверхности сферы \(S = 4\pi r^2\), где \(S\) - площадь поверхности сферы, \(\pi\) - число пи (примерное значение, равное 3,14), и \(r\) - радиус сферы.

Для начала, нам нужно найти радиус сферы. Рассмотрим треугольник АСВ. У нас есть известная сторона \(АВ = 6\) см и угол \(\angle АСВ = 60^\circ\).

Чтобы найти радиус сферы, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Используя эту теорему, мы можем записать

\[АС^2 = АВ^2 + ВС^2 - 2 \cdot АВ \cdot ВС \cdot \cos(\angle АСВ)\]

Подставим известные значения и рассчитаем \(АС\):

\[АС^2 = 6^2 + ВС^2 - 2 \cdot 6 \cdot ВС \cdot \cos(60^\circ)\]

\[АС^2 = 36 + ВС^2 - 12 \cdot ВС \cdot \frac{1}{2}\]

\[АС^2 = 36 + ВС^2 - 6 \cdot ВС\]

Так как расстояние от центра сферы до плоскости треугольника АВС составляет 2 см, то \[АС = 2 + ВС\].

Подставим это значение обратно в уравнение:

\[(2 + ВС)^2 = 36 + ВС^2 - 6 \cdot ВС\]

Раскроем скобки:

\[4 + 4 \cdot ВС + ВС^2 = 36 + ВС^2 - 6 \cdot ВС\]

Сократим \(ВС^2\) и перенесём \(4 \cdot ВС\) на другую сторону:

\[10 \cdot ВС = 32\]

Разделим обе части на 10:

\[ВС = \frac{32}{10} = 3,2\]

Теперь мы знаем, что \(ВС = 3,2\) см. Чтобы найти радиус сферы, прибавим 2 к \(ВС\) (расстояние от центра сферы до плоскости треугольника):

\[r = 3,2 + 2 = 5,2\]

Теперь, когда у нас есть радиус сферы (\(r = 5,2\) см), мы можем использовать формулу \(S = 4\pi r^2\) для расчета площади поверхности сферы.

Подставим известные значения:

\[S = 4 \cdot 3,14 \cdot 5,2^2\]

\[S = 4 \cdot 3,14 \cdot 27,04\]

\[S \approx 339,2928\]

Округлим ответ до ближайшего целого числа: \(S \approx 339\) (см²).

Таким образом, площадь поверхности сферы равна примерно 339 квадратным сантиметрам.